Wissen und Reproduzieren
16 PunkteBei einer Umfrage gilt P(A) = 0,6, P(B) = 0,5 und P(A ∩ B) = 0,4.
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Erwartungshorizont: a) 0,6 − 0,4 = 0,2 b) 0,5 − 0,4 = 0,1 c) 1 − 0,6 − 0,1 = 0,3 d) 0,4 : 0,6 ≈ 0,67 (je 1 P).
X nimmt die Werte 0, 1, 2 und 4 an mit P(X = 0) = 0,3, P(X = 1) = 0,4, P(X = 2) = 0,2.
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Erwartungshorizont: a) 1 − 0,9 = 0,1 (2 P) b) 0 + 0,4 + 0,4 + 0,4 = 1,2 (2 P).
Ein Glücksrad zeigt mit Wahrscheinlichkeit 0,2 „Gewinn“. Es wird 6-mal gedreht; X zählt die Gewinne.
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Erwartungshorizont: a) 15 (1 P) b) 15 · 0,2² · 0,8⁴ ≈ 0,2458 (2 P) c) 0,8⁶ ≈ 0,2621 (1 P).
X ist binomialverteilt mit n = 20 und p = 0,4. Berechne jeweils auf vier Nachkommastellen.
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Erwartungshorizont: a) 0,2500 b) 1 − P(X ≤ 9) ≈ 0,2447 c) P(X ≤ 9) − P(X ≤ 4) ≈ 0,7044 d) 1 − P(X ≤ 12) ≈ 0,0210 (je 1 P).
Zusammenhänge herstellen
22 Punkte5 % einer Gruppe sind infiziert (I). Ein Schnelltest ist bei Infizierten zu 80 % positiv (T), bei Nicht-Infizierten zu 3 %.
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Erwartungshorizont: a) 0,05 · 0,8 = 0,04 b) 0,04 + 0,95 · 0,03 = 0,0685 c) 0,04 : 0,0685 ≈ 0,58 — gut 40 % der Positiven sind nicht infiziert (je 2 P).
Erfahrungsgemäß treten 8 % der Fluggäste ihren Flug nicht an. Für einen Flug mit 96 Plätzen werden 100 Tickets verkauft. X: Anzahl der Gäste, die nicht erscheinen (Unabhängigkeit angenommen).
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Erwartungshorizont: a) μ = 100 · 0,08 = 8 (2 P) b) Mehr als 96 erscheinen ⇔ höchstens 3 fehlen: P(X ≤ 3) ≈ 0,0367 (2 P) c) P(X ≤ 10) − P(X ≤ 4) ≈ 0,7340 (2 P).
Ein Glücksrad zahlt mit Wahrscheinlichkeit 0,1 genau 8 € und mit 0,3 genau 2 €, sonst nichts.
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Erwartungshorizont: a) 0,8 + 0,6 = 1,4 € (3 P) b) fair bei 1,40 € Einsatz (2 P).
Bei einer Schnitzeljagd enthält jede Kiste mit Wahrscheinlichkeit 0,15 einen Preis.
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Erwartungshorizont: a) 1 − 0,85¹⁰ ≈ 0,8031 (2 P) b) 1 − 0,85ⁿ ≥ 0,95 ⇔ 0,85ⁿ ≤ 0,05; 0,85¹⁸ ≈ 0,054, 0,85¹⁹ ≈ 0,046 ⇒ n = 19 (3 P).
Verallgemeinern und Reflektieren
12 PunkteLotterie A: 1 € Gewinn mit 0,5, sonst 0 €. Lotterie B: 10 € Gewinn mit 0,05, sonst 0 €.
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Erwartungshorizont: a) μ = 0,5; V = 0,25; σ = 0,5 € b) μ = 0,5; V = 9,5²·0,05 + 0,5²·0,95 = 4,75; σ ≈ 2,18 € c) gleiche μ, B streut stärker (je 2 P).
Beurteile die Aussagen.
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Erwartungshorizont: Wahr sind 1, 3 und 5. Falsch: σ wächst mit √n, verdoppelt sich also nicht; stochastische Abhängigkeit belegt keine Ursache; μ muss nicht ganzzahlig sein und wird selbst dann nicht sicher erreicht. Je richtige Auswahl 2 P, je Fehlklick 2 P Abzug.
Ergebnis
| Aufgabe | Thema | Punkte |
|---|
Notenschema
| Punkte | Note | Beurteilung |
|---|---|---|
| 46 – 50 P | 1 | sehr gut (13 – 15 NP) |
| 40 – 45 P | 2 | gut (10 – 12 NP) |
| 30 – 39 P | 3 | befriedigend (7 – 9 NP) |
| 22 – 29 P | 4 | ausreichend (4 – 6 NP) |
| 12 – 21 P | 5 | mangelhaft (1 – 3 NP) |
| 0 – 11 P | 6 | ungenügend (0 NP) |