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Übungen: Erwartungswert und Streuung

Wie viele Treffer im Mittel — und wie weit weicht es ab? Zwei Zahlen beschreiben die ganze Verteilung.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Was sagen μ und σ?
AFB I

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit den Parametern \(n\) und \(p\) gilt \(\mu=n\cdot p\) und \(\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}\). Gib alle richtigen Aussagen an.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
\(\mu\) ist ein Mittelwert und darf z. B. \(7{,}5\) sein. \(\sigma\) wächst nur wie \(\sqrt n\): Doppeltes \(n\) liefert den Faktor \(\sqrt2\approx1{,}41\), nicht 2. Weil \(p(1-p)\) symmetrisch in \(p\) und \(1-p\) ist, haben beide Verteilungen dasselbe \(\sigma\).
Frage: Welche Größe steht unter der Wurzel?Alles, was unter der Wurzel steht, wirkt auf \(\sigma\) nur abgeschwächt.
Hilfe: Setze für die Aussage mit \(2n\) ein: \(\sqrt{2n\,p(1-p)}=\sqrt2\cdot\sqrt{n\,p(1-p)}\).
A2
Stimmt's? — Paketzustellung
AFB I

Ein Zusteller hat 40 Pakete dabei. Jedes Paket kann er unabhängig von den anderen mit der Wahrscheinlichkeit \(0{,}9\) beim ersten Versuch zustellen. Beurteile die fünf Behauptungen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Zwei klassische Fehler: den Erwartungswert als sicheres Ergebnis lesen und die Wurzel vergessen. Die Varianz \(3{,}6\) hat die Einheit „Pakete²“ — erst \(\sigma\approx1{,}90\) ist wieder eine Anzahl von Paketen.
Frage: Ist \(\mu\) eine Vorhersage für einen Tag oder ein Mittelwert?Der Erwartungswert beschreibt das Verhalten auf lange Sicht.
Hilfe: \(n=40\), \(p=0{,}9\), \(n\cdot p\cdot(1-p)=3{,}6\).
A3
Lückentext: warum n · p?
AFB I

Beschreibe die Herleitung des Erwartungswerts und die Bedeutung der Streuung mit Fachbegriffen — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Eine einzelne der Kette liefert 0 oder 1 Treffer; im Mittel ergibt sie die \(p\). Die Trefferzahl \(X\) ist die der Treffer aller \(n\) Stufen, deshalb ist ihr gleich \(n\cdot p\). Wie weit \(X\) typischerweise davon abweicht, misst die \(\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}\).

„Varianz“ bleibt übrig: Die Varianz ist \(n\cdot p\cdot(1-p)\) ohne Wurzel. Wer beide Begriffe gleichsetzt, gibt in Aufgaben oft den Wert unter der Wurzel als Streuung an.
Idee: Gehe die Herleitung von einer Stufe zur ganzen Kette.Erst eine Stufe, dann die Summe über alle Stufen, dann die Streuung.
Hilfe: Achte in der letzten Lücke auf die Wurzel in der Formel.
A4
Überbuchte Flüge
AFB II

Für einen Flug sind 180 Plätze gebucht. Erfahrungsgemäß erscheint jeder Fluggast unabhängig von den anderen mit der Wahrscheinlichkeit 6 % nicht zum Abflug. Berechne die Standardabweichung der Anzahl nicht erscheinender Fluggäste (auf zwei Nachkommastellen).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(\sigma=\sqrt{180\cdot0{,}06\cdot0{,}94}=\sqrt{10{,}152}\approx3{,}19\). Häufige Fehler: \(10{,}152\) (Wurzel vergessen) oder \(\sqrt{10{,}8}\approx3{,}29\) (Faktor \(1-p\) vergessen).
Ansatz: Lege Treffer, \(n\) und \(p\) fest.Treffer = „erscheint nicht“, \(n=180\), \(p=0{,}06\).
Rechnung: Erst \(n\cdot p\cdot(1-p)\), dann die Wurzel ziehen.
A5
Gleicher Erwartungswert?
AFB II

Neun Binomialverteilungen, drei verschiedene Erwartungswerte. Ordne jede Verteilung in den passenden Korb ein.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1μ = 12
2μ = 15
3μ = 20
Nur das Produkt \(n\cdot p\) zählt — sehr verschiedene Ketten können denselben Erwartungswert haben. Die Streuung unterscheidet sich aber: \(B(24;0{,}5)\) hat \(\sigma\approx2{,}45\), \(B(16;0{,}75)\) nur \(\sigma\approx1{,}73\). Typischer Fehler: \(n\) oder \(p\) allein vergleichen.
Ansatz: Berechne für jede Karte \(n\cdot p\).Der Erwartungswert hängt nur von diesem Produkt ab.
Hilfe: \(16\cdot0{,}75=12\), \(25\cdot0{,}6=15\), \(32\cdot0{,}625=20\).
A6
Rückwärts: von μ und σ zu n und p
AFB II

Von einer binomialverteilten Zufallsgröße kennt man nur \(\mu=24\) und \(\sigma=4\). Bestimme Schritt für Schritt die Parameter.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Varianz \(\sigma^2\)
  2. \(1-p=\tfrac{\sigma^2}{\mu}\)
  3. \(p\)
  4. \(n=\tfrac{\mu}{p}\)
Der Trick: \(\sigma^2=\underbrace{n\cdot p}_{\mu}\cdot(1-p)\), also \(1-p=\tfrac{16}{24}=\tfrac23\). Wer \(\sigma\) statt \(\sigma^2\) durch \(\mu\) teilt, erhält \(1-p=\tfrac16\) und ein falsches \(n\approx29\).
Ansatz: Suche in der Varianzformel den Erwartungswert.In \(n\cdot p\cdot(1-p)\) steckt \(n\cdot p=\mu\).
Hilfe: \(16=24\cdot(1-p)\), also \(p=\tfrac13\) und \(n=24:\tfrac13\).
A7
Fahrradkontrolle
AFB II Mix

Bei einer Verkehrskontrolle werden 25 Fahrräder überprüft. Jedes hat unabhängig mit der Wahrscheinlichkeit 12 % eine defekte Beleuchtung. \(X\): Anzahl der Räder mit defekter Beleuchtung. Ordne jeder Größe ihren Wert zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Obwohl \(\mu=3\) ist, tritt \(X=3\) nur mit etwa 24 % auf — hier ist \(3\) zwar der wahrscheinlichste Wert, aber keineswegs sicher. \(P(X=3)\) mit binomPdf bzw. Bpd, \(P(X\le3)\) mit binomCdf bzw. Bcd.
Ansatz: Bestimme zuerst \(n=25\) und \(p=0{,}12\).Damit folgen \(\mu\), \(V(X)\) und \(\sigma\) direkt aus den Formeln.
Hilfe: CAS: binomPdf(25,0.12,3) und binomCdf(25,0.12,0,3).
A8
Wann streut es am stärksten?
AFB III

Für \(n=50\) soll gezeigt werden, dass die Standardabweichung bei \(p=0{,}5\) maximal ist. Leite das Ergebnis her, indem du die Schritte ordnest.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Varianz als Funktion von \(p\): \(V(p)=50\,p\,(1-p)=50p-50p^2\)
2Ableiten: \(V'(p)=50-100p\)
3Notwendige Bedingung: \(V'(p)=0\Rightarrow p=0{,}5\)
4Hinreichend: \(V''(p)=-100<0\), also Maximum
5Wurzel ist monoton: \(\sigma_{\max}=\sqrt{12{,}5}\approx3{,}54\)
Oft wird gleich \(\sigma(p)\) abgeleitet — das geht, ist aber wegen der Wurzel mühsam. Weil \(\sqrt{\ }\) streng monoton wächst, liegt das Maximum von \(\sigma\) dort, wo die Varianz maximal ist. Dieser Übertrag gehört ans Ende.
Frage: Welche Funktion lässt sich leichter ableiten: \(\sigma(p)\) oder \(V(p)\)?Die Varianz ist eine nach unten geöffnete Parabel in \(p\).
Hilfe: Reihenfolge: Funktion — Ableitung — Nullstelle — Art des Extremums — Wurzel.
A9
Fehlersuche: verspätete Zahlungen
AFB III

Ein Energieversorger verschickt 250 Rechnungen; jede wird unabhängig mit der Wahrscheinlichkeit 8 % verspätet bezahlt. Überprüfe die Notizen einer Mitarbeiterin — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 5 ist die hartnäckigste Falle: \(\mu\) verdoppelt sich mit \(n\), \(\sigma\) nicht. Die Streuung wächst langsamer als die Anzahl — relativ zu \(n\) werden die Ergebnisse sogar immer „genauer“.
Strategie: Rechne \(\mu\), \(V(X)\) und \(\sigma\) selbst aus und vergleiche.Dann bleibt nur noch zu prüfen, ob die Deutungen stimmen.
Hilfe: \(\sqrt{2\cdot18{,}4}=\sqrt2\cdot\sqrt{18{,}4}\).
A10
Trickaufgabe — großes n, kleine Streuung?
AFB III

Fünf Binomialverteilungen mit sehr unterschiedlichen Parametern. Schätze die Standardabweichung jeweils ab, ohne den Rechner zu benutzen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = unter 1, 2 = 1 bis 2, 3 = 2 bis 3, 4 = 3 bis 4, 5 = über 4. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = unter 15 = über 4
\(n=500\), \(p=0{,}001\)
\(n=400\), \(p=0{,}005\)
\(n=20\), \(p=0{,}5\)
\(n=60\), \(p=0{,}25\)
\(n=72\), \(p=0{,}5\)
Die Falle: Riesiges \(n\) wirkt nach viel Streuung, aber bei winzigem \(p\) ist schon \(\mu\) klein: \(\sqrt{0{,}4995}\approx0{,}71\) und \(\sqrt{1{,}99}\approx1{,}41\). Dagegen \(\sqrt5\approx2{,}24\), \(\sqrt{11{,}25}\approx3{,}35\), \(\sqrt{18}\approx4{,}24\).
Ansatz: Ist \(p\) klein, gilt \(1-p\approx1\), also \(\sigma\approx\sqrt{\mu}\).Dann reicht der Erwartungswert für eine schnelle Schätzung.
Hilfe: \(\mu\) ist \(0{,}5\); \(2\); \(10\); \(15\); \(36\) — jetzt nur noch den Faktor \(1-p\) und die Wurzel berücksichtigen.