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Abituraufgaben: Erwartungswert und Streuung

Solarmodule und Arzttermine — der Erwartungswert sagt, wo es im Mittel liegt, die Streuung, wie weit es davon abweicht.

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Ersatzmodule für den Solarpark

AFB I–II

Ein Solarpark besteht aus 320 baugleichen Modulen. Der Hersteller gibt an, dass jedes Modul unabhängig von den anderen mit einer Wahrscheinlichkeit von 2,5 % innerhalb des ersten Betriebsjahres ausfällt. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der im ersten Jahr ausgefallenen Module; sie wird als binomialverteilt angenommen.

  1. Geben Sie die Parameter \(n\) und \(p\) an und berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung von \(X\).
  2. Interpretieren Sie den Erwartungswert im Sachzusammenhang.
  3. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass im ersten Jahr höchstens 8 Module bzw. mehr als 12 Module ausfallen.
  4. Der Betreiber hält genau 8 Ersatzmodule vorrätig. Begründen Sie, dass dieser Vorrat oft nicht ausreicht, und ermitteln Sie, wie viele Ersatzmodule mindestens nötig sind, damit der Vorrat mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit reicht.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(n\) ist die Anzahl der Module, \(p\) die Ausfallwahrscheinlichkeit eines einzelnen Moduls. Achten Sie bei \(\sigma\) auf die Wurzel.
Hinweis zu Aufgabe b)
Formulieren Sie, was „im Mittel“ hier bedeutet — bezogen auf viele Betriebsjahre oder viele gleichartige Parks.
Hinweis zu Aufgabe c)
Beide Anfragen lassen sich auf „höchstens“ zurückführen: \(P(X>12)=1-P(X\le12)\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Ein Vorrat von 8 reicht genau dann, wenn \(X\le8\). Erhöhen Sie danach die Grenze \(k\) schrittweise, bis \(P(X\le k)\ge0{,}95\) gilt.Begründen: Aussage mit einer Wahrscheinlichkeit stützen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(n=320\), \(p=0{,}025\).

\(\mu=320\cdot0{,}025=8\); \(\sigma=\sqrt{320\cdot0{,}025\cdot0{,}975}=\sqrt{7{,}8}\approx2{,}79\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Betrachtet man sehr viele Betriebsjahre (oder viele baugleiche Parks), so fallen im Mittel 8 Module pro Jahr aus. In einem einzelnen Jahr können es mehr oder weniger sein; typische Abweichungen liegen in der Größenordnung von \(\sigma\approx2{,}8\) Modulen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

GTR: Bcd mit Lower 0, Upper 8, Numtrial 320, p 0.025; CAS: binomCdf(320,0.025,0,8).

\(P(X\le8)\approx0{,}593\).

\(P(X>12)=1-P(X\le12)\approx1-0{,}939=0{,}061\).

Mit etwa 59 % fallen höchstens 8 Module aus, mit etwa 6 % mehr als 12.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(P(X>8)=1-P(X\le8)\approx0{,}407\): In rund 41 % der Jahre reicht der Vorrat nicht. Der Erwartungswert ist ein Mittelwert — etwa in der Hälfte der Fälle liegt die Ausfallzahl darüber.

Schrittweise: \(P(X\le11)\approx0{,}891\), \(P(X\le12)\approx0{,}939\), \(P(X\le13)\approx0{,}968\).

Es sind mindestens 13 Ersatzmodule nötig.

2

Wie viele Termine vergibt die Praxis?

AFB II–III

Eine Hausarztpraxis kann an einem Vormittag höchstens 50 Terminpatientinnen und -patienten behandeln. Erfahrungsgemäß erscheinen 12 % der Personen mit Termin nicht, und zwar unabhängig voneinander. Um Leerlauf zu vermeiden, überlegt die Praxisleitung, mehr als 50 Termine zu vergeben. \(Y\) bezeichnet die Anzahl der erscheinenden Personen.

Die Tabelle zeigt Kennwerte für verschiedene Anzahlen vergebener Termine; einige Werte fehlen.

vergebene TermineμσP(Y > 50)
5245,762,340,010
55???
5851,042,470,605
Verteilung von Y bei 55 vergebenen Terminen
0,000,050,090,140,19383940414243444546474849505152535455k
Dargestellt sind \(k=38\) bis \(55\); orange: Überlastung (\(Y>50\)). Säulen unter 38 sind zu klein für die Darstellung.
  1. Zeigen Sie, dass bei 55 vergebenen Terminen \(\mu=48{,}4\) und \(\sigma\approx2{,}41\) gilt.
  2. Untersuchen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Praxis bei 55 vergebenen Terminen überlastet ist, und ergänzen Sie die Tabelle.
  3. Vergleichen Sie die drei Varianten anhand der Tabelle hinsichtlich Erwartungswert, Streuung und Überlastungsrisiko.
  4. Die Praxisleitung argumentiert: „Bei 55 Terminen erscheinen im Mittel nur 48,4 Personen. Wir liegen also sicher unter 50 und riskieren keine Überlastung.“ Beurteilen Sie diese Argumentation.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Treffer ist hier „erscheint“, also \(p=0{,}88\) — nicht \(0{,}12\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Überlastung heißt \(Y\ge51\). Führen Sie auf „höchstens“ zurück.
Hinweis zu Aufgabe c)
Achten Sie darauf, wie stark sich \(\mu\) und wie wenig sich \(\sigma\) ändert — und was das für \(P(Y>50)\) bedeutet.
Hinweis zu Aufgabe d)
Kriterien: Was sagt ein Erwartungswert über einen einzelnen Vormittag aus? Welche Rolle spielt die Streuung? Ist das Risiko akzeptabel — und für wen?Beurteilen: Urteil mit Rechenergebnissen begründen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(Y\) ist binomialverteilt mit \(n=55\), \(p=0{,}88\).

\(\mu=55\cdot0{,}88=48{,}4\); \(\sigma=\sqrt{55\cdot0{,}88\cdot0{,}12}=\sqrt{5{,}808}\approx2{,}41\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(Y>50)=1-P(Y\le50)\); CAS: 1 − binomCdf(55,0.88,0,50), GTR: Bcd mit Lower 0, Upper 50.

\(P(Y>50)\approx1-0{,}805=0{,}195\).

Zeile 55: \(\mu=48{,}4\), \(\sigma\approx2{,}41\), \(P(Y>50)\approx0{,}195\). An etwa jedem fünften Vormittag wäre die Praxis überlastet.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Mit jedem zusätzlichen Termin steigt \(\mu\) um \(0{,}88\); \(\sigma\) ändert sich kaum (\(2{,}34\) bis \(2{,}47\)).

Weil die Verteilung fast nur verschoben wird, wächst das Überlastungsrisiko stark: von etwa 1 % (52 Termine) über etwa 20 % (55) auf etwa 61 % (58). Bei 58 Terminen liegt schon \(\mu\) über der Kapazität.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die Argumentation ist nicht haltbar: \(\mu=48{,}4\) ist nur der Mittelwert über viele Vormittage. Mit \(\sigma\approx2{,}4\) sind Abweichungen von zwei oder drei Personen nach oben alltäglich; die Überlastungswahrscheinlichkeit beträgt rund 20 %, das ist keineswegs „sicher“.

Mögliches Urteil: 55 Termine sind vertretbar, wenn gelegentliche Wartezeiten akzeptiert werden; wer Überlastung weitgehend ausschließen will, sollte eher 52 Termine vergeben (Risiko etwa 1 %) und nimmt dafür im Mittel gut vier freie Plätze in Kauf.