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Übungen: Erwartungswert deuten

Der Gleichgewichtspunkt der Verteilung — und was er im Sachkontext bedeutet (und was nicht).

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Was sagt E(X) = 1,3?
AFB I

Bei einem Paketdienst ist \(X\) die Anzahl der Zustellversuche für ein Paket; es gilt \(E(X)=1{,}3\). Gib alle zutreffenden Deutungen an.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
\(E(X)\) ist ein Mittel über viele Pakete, keine Aussage über ein einzelnes Paket — und nicht der häufigste Wert. Die Deutung braucht immer „auf lange Sicht“ bzw. „im Durchschnitt“.
Frage: Kann ein einzelnes Paket 1,3 Versuche brauchen?Nein — also muss die Deutung über viele Pakete sprechen.
Hilfe: Hochrechnen: \(n\cdot E(X)\) ist die erwartete Summe bei \(n\) Paketen.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen zum Erwartungswert. Beurteile jede kurz.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Das Bild der Wippe hilft bei allen fünf: Verschiebt man alle Säulen, wandert der Gleichgewichtspunkt mit; ein weit entfernter kleiner Klotz kippt die Wippe stark.
Frage: Was passiert mit dem Gleichgewichtspunkt einer Wippe?Der Erwartungswert ist genau dieser Punkt.
Hilfe: Aussage 3: \(\sum(x_i+2)\cdot P(X=x_i)=E(X)+2\).
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Beschreibe Berechnung und Deutung des Erwartungswerts mit Fachbegriffen — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Beim Erwartungswert wird jeder Wert \(x_i\) mit seiner Wahrscheinlichkeit ; anschließend addiert man alle . Im Histogramm ist \(\mu\) der einer Wippe. \(\mu\) hat dieselbe wie \(X\) und beschreibt, was auf durchschnittlich herauskommt.

„häufigste“ bleibt übrig: Der Erwartungswert ist nicht der häufigste Wert — bei einer schiefen Verteilung liegt er oft weit daneben.
Idee: Erst rechnen (zwei Lücken), dann das Bild, dann die Deutung.So ergibt sich die Reihenfolge der Lücken.
Hilfe: Die Rechnung lautet \(\mu=\sum x_i\cdot P(X=x_i)\).
A4
Deutung oder Fehldeutung?
AFB II

Für eine Handyversicherung ist \(X\) der Gewinn der Versicherung pro Vertrag und Jahr; es gilt \(E(X)=4{,}20\) €. Ordne jede Aussage zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1passende Deutung
2Fehldeutung
Alle Fehldeutungen übertragen den Mittelwert auf den Einzelfall. Tatsächlich bringen die meisten Verträge etwas mehr als 4,20 € (kein Schaden), einige einen hohen Verlust (Schaden) — nur im Mittel ergibt sich 4,20 €.
Ansatz: Prüfe jede Aussage: Spricht sie über viele Verträge oder über einen einzelnen?Nur Aussagen über das langfristige Mittel sind gedeckt.
Hilfe: Hochrechnen ist erlaubt: \(n\cdot E(X)\).
A5
Rechenkette: Notdienst-Rechnung
AFB II Mix

Ein Handwerker-Notdienst berechnet 60 € Anfahrt und 50 € pro Stunde. Mit 0,6 genügt eine Stunde. Sonst ist eine zweite Stunde nötig; in 75 % dieser Fälle ist das Problem dann gelöst, in den übrigen kommt ein Ersatzteil für 90 € dazu. \(X\) = Rechnungsbetrag in €. Berechne Schritt für Schritt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. \(P(X=160)\)
  2. \(P(X=250)\)
  3. \(E(X)\) €
  4. erwartete Einnahmen bei 40 Einsätzen €
Die Werte sind \(110\), \(160\) und \(250\) €. Pfadregel: \(0{,}4\cdot0{,}75=0{,}3\) und \(0{,}4\cdot0{,}25=0{,}1\). \(E(X)=110\cdot0{,}6+160\cdot0{,}3+250\cdot0{,}1=139\) €, bei 40 Einsätzen etwa \(5560\) €. Typischer Fehler: \(0{,}75\) direkt als \(P(X=160)\) nehmen — das ist nur der Ast der 2. Stufe.
Ansatz: Bestimme zuerst die drei möglichen Rechnungsbeträge.\(60+50\), \(60+100\) und \(60+100+90\).
Hilfe: Die 0,75 gilt nur unter der Bedingung „zweite Stunde nötig“ — mit \(0{,}4\) multiplizieren.
A6
Verteilung und Gleichgewichtspunkt
AFB II

Bestimme zu jeder Verteilung den Erwartungswert und verbinde.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Die ersten beiden Verteilungen haben dieselben Werte, aber verschiedene Gewichte — deshalb liegt \(\mu\) einmal in der Mitte (2), einmal näher an der 0 (1). Wer nur die Werte mittelt, ordnet beiden die 2 zu.
Ansatz: Rechne jedes \(\sum x_i\cdot P(X=x_i)\) im Kopf.Die Zahlen sind so gewählt, dass es ohne Rechner geht.
Hilfe: \(-3\cdot0{,}25+5\cdot0{,}75=-0{,}75+3{,}75\).
A7
Wie viele Folgen am Abend?
AFB II

Ein Streamingdienst will wissen, wie viele Folgen eine Person pro Abend im Mittel schaut, und hat dazu ein Modell mit Wahrscheinlichkeiten. Stelle den Lösungsweg in der richtigen Reihenfolge dar.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Zufallsgröße festlegen: \(X\) = Anzahl Folgen pro Abend
2Mögliche Werte \(x_i\) notieren
3Wahrscheinlichkeiten \(P(X=x_i)\) zuordnen und Summe 1 prüfen
4Produkte \(x_i\cdot P(X=x_i)\) bilden und addieren
5Ergebnis deuten: „Auf lange Sicht schaut eine Person durchschnittlich … Folgen pro Abend.“
Die Deutung ist der letzte, aber nicht der unwichtigste Schritt: Ohne „auf lange Sicht“ bzw. „durchschnittlich“ klingt das Ergebnis wie eine Aussage über jeden einzelnen Abend.
Frage: Was musst du wissen, bevor du Produkte bilden kannst?Welche Werte es gibt und wie wahrscheinlich sie sind.
Hilfe: Festlegen — Werte — Wahrscheinlichkeiten — rechnen — deuten.
A8
Die unbekannte Wahrscheinlichkeit
AFB III

Eine Kundenkarte schenkt beim Bezahlen zufällig 5, 10 oder 50 Bonuspunkte. Die 10 Punkte gibt es mit 0,3. Im Mittel erhält man 11 Punkte pro Einkauf. Ermittle die Wahrscheinlichkeit für 50 Punkte.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Mit \(a=P(X=5)\), \(b=P(X=50)\): \(a+b=0{,}7\) und \(5a+10\cdot0{,}3+50b=11\). Einsetzen: \(5(0{,}7-b)+3+50b=11\) \(\Rightarrow\) \(45b=4{,}5\) \(\Rightarrow\) \(b=0{,}1\). Häufiger Fehler: die Bedingung „Summe 1“ vergessen — dann hat man zwei Unbekannte und nur eine Gleichung.
Ansatz: Zwei Unbekannte brauchen zwei Gleichungen.Eine liefert \(E(X)=11\), die andere die Summe der Wahrscheinlichkeiten.
Hilfe: \(P(X=5)=0{,}7-b\) einsetzen.
A9
Fehlersuche an der Kletterwand
AFB III

Beim Bouldern ist \(X\) die Anzahl der Versuche bis zum Durchstieg einer Route (höchstens 4): \(P(X=1)=0{,}2\), \(P(X=2)=0{,}3\), \(P(X=3)=0{,}3\), \(P(X=4)=0{,}2\). Überprüfe die Notizen — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 6 zeigt die Wippe: Gewicht wandert von der 1 zur 4, also nach rechts — der Gleichgewichtspunkt folgt nach rechts. Zeile 2 und 4 verwechseln den Erwartungswert mit einem Einzelergebnis.
Strategie: Rechne \(E(X)\) selbst und prüfe jede Deutung mit „auf lange Sicht“.Aussagen über jeden Einzelfall sind verdächtig.
Hilfe: Zeile 6: Wird ein großer Wert wahrscheinlicher, wandert \(\mu\) zu ihm hin.
A10
Trickaufgabe — der Durchschnitt der Werte täuscht
AFB III

Schätze zu jeder Verteilung ab, in welchem Bereich \(E(X)\) liegt.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = unter 1, 2 = 1 bis unter 2, 3 = 2 bis unter 3, 4 = 3 bis unter 4, 5 = 4 oder mehr. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = unter 15 = 4 oder mehr
\(x_i=0;\,10\) mit \(0{,}92;\,0{,}08\)
\(x_i=-2;\,1;\,8\) mit \(0{,}3;\,0{,}5;\,0{,}2\)
\(x_i=1;\,2;\,9\) mit \(0{,}45;\,0{,}45;\,0{,}1\)
\(x_i=1;\,4;\,5\) mit \(0{,}2;\,0{,}3;\,0{,}5\)
\(x_i=0;\,50\) mit \(0{,}9;\,0{,}1\)
Die Falle: den einfachen Durchschnitt der Werte nehmen — etwa 5 statt 0,8 bei der ersten oder 4 statt 2,25 bei der dritten Verteilung. Ergebnisse: \(0{,}8\); \(1{,}5\); \(2{,}25\); \(3{,}9\); \(5\). Bei der letzten zieht der seltene, große Wert \(\mu\) weit nach rechts, obwohl 90 % der Fälle 0 ergeben.
Ansatz: Schau zuerst, wo das meiste Gewicht liegt, und dann, wie weit ein seltener Wert entfernt ist.Weit entfernte Werte wirken wie ein langer Hebel.
Hilfe: Letzte Zeile: \(50\cdot0{,}1=5\).