Fahrradverleih
AFB I–IIEin Fahrradverleih an der Küste vermietet Räder für 1, 2 oder 3 Tage oder für eine ganze Woche (7 Tage). Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Mietdauer eines zufällig ausgewählten Kunden in Tagen an; ihre Verteilung zeigt die Abbildung.
Ein Tag kostet 12 €; für die Woche gibt es einen Pauschalpreis von 60 €. \(Y\) sind die Einnahmen pro Vermietung in Euro.
- Berechnen Sie den Erwartungswert \(E(X)\).
- Interpretieren Sie \(E(X)\) im Sachzusammenhang.
- Bestimmen Sie die zu erwartenden Einnahmen pro Vermietung.
- Ein Mitarbeiter rechnet: „\(12\cdot E(X)\) ergibt die mittleren Einnahmen.“ Erläutern Sie, warum dieser Ansatz hier nicht zum richtigen Ergebnis führt.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(E(X)=1\cdot0{,}4+2\cdot0{,}25+3\cdot0{,}2+7\cdot0{,}15=0{,}4+0{,}5+0{,}6+1{,}05=2{,}55\) Tage.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Auf lange Sicht mietet ein Kunde durchschnittlich 2,55 Tage. Eine Mietdauer von 2,55 Tagen kommt einzeln gar nicht vor; bei z. B. 100 Vermietungen ergeben sich zusammen etwa 255 Miettage.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(Y\in\{12;\ 24;\ 36;\ 60\}\) mit den Wahrscheinlichkeiten \(0{,}4;\ 0{,}25;\ 0{,}2;\ 0{,}15\).
\(E(Y)=12\cdot0{,}4+24\cdot0{,}25+36\cdot0{,}2+60\cdot0{,}15=4{,}8+6+7{,}2+9=27\) €.
Auf lange Sicht nimmt der Verleih pro Vermietung durchschnittlich 27 € ein.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(12\cdot E(X)=30{,}60\) € \(\ne27\) €. Der Ansatz setzt voraus, dass jeder Tag 12 € kostet, also \(Y=12\cdot X\). Für die Woche gilt aber \(Y=60\) statt \(12\cdot7=84\) €.
Nur wenn \(Y\) für jeden Wert das 12-Fache von \(X\) ist, darf man \(E(Y)=12\cdot E(X)\) rechnen. Durch den Wochenrabatt fehlen im Mittel \(24\cdot0{,}15=3{,}60\) € — genau die Differenz.
Reiserücktrittsversicherung
AFB II–IIIEin Reisebüro bietet zu jeder Pauschalreise eine Reiserücktrittsversicherung für 39 € an. Aus Erfahrung weiß die Versicherung: 4 % der Kunden treten die Reise ganz zurück, dann zahlt sie 600 €. Weitere 6 % müssen umbuchen, dann zahlt sie 150 €. In allen anderen Fällen zahlt sie nichts.
Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt den Gewinn der Versicherung pro Vertrag in Euro (Beitrag minus Zahlung). Verwaltungskosten werden nicht berücksichtigt.
- Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) auf.
- Zeigen Sie, dass \(E(X)=6\) € gilt.
- Die Versicherung möchte pro Vertrag im Mittel 10 € Gewinn erzielen. Ermitteln Sie den dafür nötigen Beitrag.
- Eine Kundin sagt: „Da die Versicherung im Mittel an mir verdient, ist es für mich immer unvernünftig, sie abzuschließen.“ Beurteilen Sie diese Aussage.
Hinweise
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Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
| \(x_i\) in € | \(39\) | \(39-150=-111\) | \(39-600=-561\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | 0,90 | 0,06 | 0,04 |
Kontrolle: \(0{,}9+0{,}06+0{,}04=1\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(E(X)=39\cdot0{,}9+(-111)\cdot0{,}06+(-561)\cdot0{,}04=35{,}10-6{,}66-22{,}44=6\) €.
Auf lange Sicht verdient die Versicherung pro Vertrag durchschnittlich 6 €.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(E(X)=b\cdot0{,}9+(b-150)\cdot0{,}06+(b-600)\cdot0{,}04=b-9-24=b-33\).
\(b-33=10\Rightarrow b=43\) €. Kontrolle: \(39-33=6\) passt zu b).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Für die Kundin ist der Gewinn \(-X\), also im Mittel \(-6\) € pro Vertrag: Auf lange Sicht zahlt sie mehr ein, als sie erstattet bekommt. Rein nach dem Erwartungswert lohnt sich die Versicherung nicht.
Der Erwartungswert beschreibt aber nur das langfristige Mittel. Im Einzelfall schützt die Versicherung vor einem Verlust von 600 €, der für manche Kundin schwer zu tragen wäre. Wer dieses Risiko vermeiden will, kann den kleinen mittleren Verlust als „Preis für Sicherheit“ bewusst in Kauf nehmen.
Urteil: Die Aussage ist zu pauschal. Nach dem Erwartungswert ist die Versicherung ungünstig; „immer unvernünftig“ ist sie nicht, weil neben dem Mittel auch das Risiko eines großen Einzelverlusts zählt.