Bedingung umkehren: Übungen – Mathe Klasse 13

A1

Was bleibt beim Umkehren gleich?

AFB I

Ein Baum mit \(A\) als erster Stufe soll in einen Baum mit \(B\) als erster Stufe umgebaut werden. Gib alle richtigen Aussagen an.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Nur die Schnitte wandern unverändert in den neuen Baum. Die neue erste Stufe \(P(B)\) muss erst als Summe zweier Pfade berechnet werden — wer sie „abschreibt“, übernimmt fälschlich einen Ast der 2. Stufe.

Frage: Welche Zahlen beziehen sich auf alle Fälle, welche auf eine Gruppe?Anteile an allen Fällen ändern sich beim Umbauen nicht.

Hilfe: \(P(B)=P(A\cap B)+P(\overline A\cap B)\).

A2

Stimmt's? — Umkehren

AFB I

Fünf Behauptungen zum Umkehren der Bedingung. Beurteile jede kurz.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Der Standardfehler: Im Nenner \(P(A)\) statt \(P(B)\) — dann hat man nur \(P_A(B)\) zurückgerechnet. Die Bedingung steht immer im Nenner, beim Umkehren ist das die „neue“ Bedingung.

Frage: Was ist in \(P_B(A)\) die Bezugsgruppe?Die Gruppe \(B\) — sie besteht aus zwei Pfaden.

Hilfe: Äste, die von einem Knoten ausgehen, ergeben zusammen 1.

A3

Lückentext: das Umbau-Rezept

AFB I

Beschreibe das Vorgehen beim Umbauen des Baums — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Zuerst berechnet man mit der alle Pfade, die bei \(B\) enden. Ihre ergibt \(P(B)\), die Stufe des neuen Baums. Dann teilt man den \(P(A\cap B)\) durch \(P(B)\). Im Nenner steht also immer die neue .

„Gegenwahrscheinlichkeit“ bleibt übrig — sie hilft nur beim Gegenast am Ende. Viele vergessen den Schritt „Summe“ und teilen durch einen einzelnen Pfad.

Idee: Multiplizieren — addieren — teilen.Genau in dieser Reihenfolge stehen die Lücken.

Hilfe: Die Summe der Pfade zu \(B\) ist die neue erste Stufe.

A4

Wildkamera erkennt Luchs

AFB II

In einem Revier stammen 4 % der Auslösungen einer Wildkamera von Luchsen (\(L\)). Die Bilderkennung meldet „Luchs“ (\(E\)) bei 95 % der Luchs-Aufnahmen, aber auch bei 3 % der Aufnahmen anderer Tiere. Berechne \(P_E(L)\) auf drei Nachkommastellen.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

\(P(L\cap E)=0{,}04\cdot0{,}95=0{,}038\), \(P(\overline L\cap E)=0{,}96\cdot0{,}03=0{,}0288\), \(P(E)=0{,}0668\), also \(P_E(L)=\tfrac{0{,}038}{0{,}0668}\approx0{,}569\). Typischer Fehler: 0,95 angeben — das ist die Erkennungsrate \(P_L(E)\), nicht der Anteil echter Luchse unter den Meldungen.

Ansatz: Zeichne den Baum mit \(L\) als erster Stufe.Gesucht ist die umgekehrte Bedingung.

Hilfe: Nenner = alle Pfade, die bei \(E\) enden.

A5

Zwei Maschinen — zwei Bäume

AFB II

Maschine \(M_1\) fertigt 60 % der Teile, \(M_2\) den Rest. Von \(M_1\) sind 2 % defekt (\(D\)), von \(M_2\) 4 %. Ordne jede Zahl zu, wo sie steht.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1Baum mit M zuerst (Äste)

2Baum mit D zuerst (Äste)

3Pfadende in beiden Bäumen

Alter Baum: \(0{,}6\), \(P_{M_1}(D)=0{,}02\), \(P_{M_2}(D)=0{,}04\). Pfadenden: \(0{,}012\) und \(0{,}016\) — sie stehen in beiden Bäumen. Neuer Baum: \(P(D)=0{,}028\), \(P_D(M_1)=\tfrac{0{,}012}{0{,}028}\approx0{,}429\), \(P_D(M_2)\approx0{,}571\). Falle: Die Pfadenden werden für Äste gehalten.

Ansatz: Rechne zuerst beide Pfade zu \(D\) aus.Pfadenden sind Schnitte — die ändern sich beim Umbauen nicht.

Hilfe: \(0{,}028=0{,}012+0{,}016\) ist die neue erste Stufe.

A6

Gepäckscanner am Flughafen

AFB II

0,5 % der Koffer enthalten einen verbotenen Gegenstand (\(V\)). Der Scanner schlägt Alarm (\(A\)) bei 98 % dieser Koffer, aber auch bei 4 % der übrigen. Bestimme Schritt für Schritt:

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

\(P(V\cap A)\)
\(P(\overline V\cap A)\)
\(P(A)\)
\(P_A(V)\) (vier Stellen)

\(0{,}005\cdot0{,}98=0{,}0049\), \(0{,}995\cdot0{,}04=0{,}0398\), Summe \(0{,}0447\), also \(P_A(V)=\tfrac{0{,}0049}{0{,}0447}\approx0{,}1096\). Nur etwa jeder neunte Alarm ist berechtigt — die vielen harmlosen Koffer liefern die meisten Alarme.

Ansatz: Erst die beiden Pfade zu \(A\), dann ihre Summe, dann teilen.Das ist das Umbau-Rezept.

Hilfe: \(P(\overline V)=0{,}995\).

A7

Mit 10 000 gedachten Personen

AFB II Mix

In der Grippesaison sind 8 % der Personen mit Symptomen infiziert (\(I\)). Ein Schnelltest ist bei 90 % der Infizierten positiv (\(T\)), bei 5 % der Nicht-Infizierten ebenfalls. Ermittle die Anzahlen für 10 000 gedachte Personen und ordne zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

\(10\,000\cdot0{,}08=800\), davon \(90\,\%\): 720. Von den 9200 Gesunden sind \(5\,\%\), also 460, positiv. \(P_T(I)=\tfrac{720}{1180}\approx0{,}61\). Der typische Fehler ist, 460 zu übersehen: Die Gruppe der Positiven enthält auch die Fehlalarme.

Ansatz: Baue einen Baum mit Anzahlen statt Wahrscheinlichkeiten.Wie in der Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten.

Hilfe: Nicht infiziert: \(10\,000-800=9200\).

A8

Gesichtserkennung am Smartphone

AFB III

Bei 90 % der Entsperrversuche hält die Besitzerin das Handy (\(B\)). Die Gesichtserkennung entsperrt (\(E\)) bei ihr in 97 % der Versuche, bei fremden Personen in 1 %. Gesucht ist \(P_E(B)\). Entwickle den Lösungsweg, indem du die Schritte ordnest.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Baum mit \(B\) als erster Stufe beschriften: \(0{,}9\), \(0{,}97\), \(0{,}01\)

2Alle Pfade zu \(E\) berechnen: \(0{,}873\) und \(0{,}001\)

3Neue erste Stufe: \(P(E)=0{,}874\)

4Teilen: \(P_E(B)=\tfrac{0{,}873}{0{,}874}\approx0{,}9989\)

5Gegenast ergänzen: \(P_E(\overline B)\approx0{,}0011\)

Hier ist \(P_E(B)\) sehr groß, weil fremde Versuche selten sind und selten gelingen. Wer die Summe \(P(E)\) überspringt, teilt nur durch einen Pfad und erhält 1 — das ist der typische Abkürzungsfehler.

Frage: Was brauchst du, bevor du teilen kannst?Den Nenner \(P(E)\) — und dafür beide Pfade.

Hilfe: Beschriften — Pfade — Summe — teilen — ergänzen.

A9

Fehlersuche: Betrugserkennung beim Online-Banking

AFB III

0,2 % der Überweisungen sind Betrugsversuche (\(B\)). Das System sperrt (\(S\)) 99 % davon, aber auch 1 % der harmlosen Überweisungen. Überprüfe die Rechnung eines Mitschülers — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Zeile 4 ist der „Trefferquoten-Irrtum“: \(P_B(S)=0{,}99\) sagt, wie viele Betrugsfälle erkannt werden — nicht, wie viele Sperren berechtigt sind. Das sind nur etwa 17 %.

Strategie: Prüfe jede Zeile gegen das Umbau-Rezept: Pfade — Summe — teilen.Achte besonders auf den Nenner.

Hilfe: Bei einem Pfad müssen immer zwei Äste multipliziert werden.

A10

Trickaufgabe — gleiches Gerät, andere Trefferquote

AFB III

Ein Metalldetektor piept (\(D\)) bei 90 % der Stellen mit Metall (\(M\)) und bei 10 % der Stellen ohne Metall. Er wird an fünf Stränden mit verschiedenem Metallanteil eingesetzt. Schätze für jeden Strand \(P_D(M)\) ab.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = unter 0,2, 2 = 0,2 bis 0,4, 3 = 0,4 bis 0,6, 4 = 0,6 bis 0,8, 5 = über 0,8. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = unter 0,25 = über 0,8

Strand 1: \(P(M)=0{,}5\)

Strand 2: \(P(M)=0{,}25\)

Strand 3: \(P(M)=0{,}1\)

Strand 4: \(P(M)=0{,}04\)

Strand 5: \(P(M)=0{,}01\)

Die Falle: Das Gerät ist überall gleich gut, trotzdem sinkt \(P_D(M)\) von \(0{,}9\) über \(0{,}75\), \(0{,}5\), \(\approx0{,}27\) bis \(\approx0{,}08\). Je seltener Metall ist, desto mehr Pieptöne stammen von den vielen metallfreien Stellen. Wer einfach „90 %“ ansetzt, ignoriert den Anteil \(P(M)\).

Ansatz: Denke an 100 Stellen und zähle echte und falsche Pieptöne.Bei \(P(M)=0{,}1\): 9 echte und 9 falsche.

Hilfe: \(P_D(M)=\tfrac{0{,}9\,P(M)}{0{,}9\,P(M)+0{,}1\,(1-P(M))}\).

Übungen: Bedingung umkehren

Übungsaufgaben