Displays von zwei Lieferanten
AFB I–IIEin Smartphone-Hersteller bezieht 70 % seiner Displays von Lieferant \(L_1\) und 30 % von Lieferant \(L_2\). Bei \(L_1\) haben 1,5 % der Displays einen Pixelfehler (\(F\)), bei \(L_2\) sind es 4 %.
- Zeichnen Sie ein Baumdiagramm mit dem Lieferanten als erster Stufe und beschriften Sie alle Äste.
- Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Display einen Pixelfehler hat.
- Bei der Endkontrolle fällt ein Display mit Pixelfehler auf. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es von \(L_2\) stammt.
- Erläutern Sie, warum mehr als die Hälfte der fehlerhaften Displays von \(L_2\) stammt, obwohl \(L_2\) nur 30 % liefert.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
1. Stufe: \(P(L_1)=0{,}7\), \(P(L_2)=0{,}3\).
2. Stufe: \(P_{L_1}(F)=0{,}015\), \(P_{L_1}(\overline F)=0{,}985\), \(P_{L_2}(F)=0{,}04\), \(P_{L_2}(\overline F)=0{,}96\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(P(F)=0{,}7\cdot0{,}015+0{,}3\cdot0{,}04=0{,}0105+0{,}012=0{,}0225\).
2,25 % aller Displays haben einen Pixelfehler.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(P_F(L_2)=\dfrac{P(L_2\cap F)}{P(F)}=\dfrac{0{,}012}{0{,}0225}\approx0{,}533\).
Ein fehlerhaftes Display stammt mit rund 53 % Wahrscheinlichkeit von \(L_2\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Fehlerquote von \(L_2\) ist mit 4 % fast dreimal so hoch wie die von \(L_1\). Dadurch ist der Pfad \(L_2\cap F\) mit \(0{,}012\) größer als \(L_1\cap F\) mit \(0{,}0105\), obwohl \(L_2\) weniger liefert. In der Gruppe der fehlerhaften Displays stellt \(L_2\) deshalb den größeren Anteil.
Hörscreening bei Neugeborenen
AFB II–IIIIn Deutschland wird bei Neugeborenen ein Hörscreening durchgeführt. Für eine Region gelten folgende Annahmen: 0,2 % der Neugeborenen haben eine behandlungsbedürftige Hörstörung (\(H\)). Bei 99 % dieser Kinder ist das Screening auffällig (\(A\)); bei Kindern ohne Hörstörung ist es in 3 % der Fälle ebenfalls auffällig, zum Beispiel wegen Fruchtwasser im Gehörgang.
Bei auffälligem Screening folgt eine Kontrolluntersuchung (\(K\)). Bei Kindern mit auffälligem Erstbefund ist sie bei 98 % der Kinder mit Hörstörung auffällig und bei 2 % der Kinder ohne Hörstörung.
- Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind mit auffälligem Screening tatsächlich eine Hörstörung hat.
- Stellen Sie die Situation für 100 000 Neugeborene mit Anzahlen dar; dabei muss sich Ihr Ergebnis aus a) wieder ergeben.
- Untersuchen Sie, wie wahrscheinlich ein Kind, das in Screening und Kontrolluntersuchung auffällig ist, eine Hörstörung hat.
- In einem Elternforum heißt es: „Wenn das Screening auffällig ist, ist das Kind mit 99 % Wahrscheinlichkeit schwerhörig.“ Beurteilen Sie diese Aussage und den Nutzen des zweistufigen Verfahrens.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(P(H\cap A)=0{,}002\cdot0{,}99=0{,}00198\), \(P(\overline H\cap A)=0{,}998\cdot0{,}03=0{,}02994\).
\(P(A)=0{,}00198+0{,}02994=0{,}03192\).
\(P_A(H)=\dfrac{0{,}00198}{0{,}03192}\approx0{,}062\). Nur etwa 6,2 % der auffällig gescreenten Kinder haben eine Hörstörung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Von 100 000 Kindern haben 200 eine Hörstörung, davon sind 198 auffällig. Von 99 800 Kindern ohne Hörstörung sind \(99\,800\cdot0{,}03=2994\) auffällig.
Auffällig insgesamt: \(198+2994=3192\). Anteil mit Hörstörung: \(\tfrac{198}{3192}\approx0{,}062\) — wie in a).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Neue erste Stufe (Gruppe der auffälligen Kinder): \(P_A(H)\approx0{,}0620\), \(P_A(\overline H)\approx0{,}9380\).
Pfade zu \(K\): \(0{,}0620\cdot0{,}98\approx0{,}0608\) und \(0{,}9380\cdot0{,}02\approx0{,}0188\); Summe \(\approx0{,}0796\).
Gesucht: \(\dfrac{0{,}0608}{0{,}0796}\approx0{,}764\). (Mit Anzahlen: \(\tfrac{194{,}04}{194{,}04+59{,}88}\approx0{,}764\).) Nach zwei auffälligen Befunden hat ein Kind mit rund 76 % Wahrscheinlichkeit eine Hörstörung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Aussage verwechselt \(P_H(A)=0{,}99\) mit \(P_A(H)\approx0{,}06\). Weil Hörstörungen sehr selten sind, stammen die meisten auffälligen Befunde von gesunden Kindern; ein auffälliges Screening allein ist daher kein Grund zur Panik.
Das zweistufige Verfahren ist sinnvoll: Das Screening findet fast alle betroffenen Kinder (99 %), und die Kontrolluntersuchung hebt die Wahrscheinlichkeit bei doppelt auffälligem Befund auf etwa 76 %. Ein Restrisiko für Fehlalarme bleibt (ca. 24 %), sodass eine abschließende fachärztliche Diagnose nötig ist. Mögliches Urteil: Forumsaussage falsch, Verfahren sinnvoll.