Bedingte Wahrscheinlichkeit: Übungen – Mathe Klasse 13

A1

Was sagt die Formel?

AFB I

Es geht um die Definition \(P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\). Gib alle richtigen Aussagen an.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Der häufigste Fehler ist der falsche Nenner \(P(B)\) — dann rechnet man \(P_B(A)\) aus. Weil man durch eine Zahl \(\le 1\) teilt, ist \(P_A(B)\) nie kleiner als der Schnitt, und weil \(A\cap B\) in \(A\) enthalten ist, nie größer als 1.

Frage: Welche Gruppe ist das neue Ganze?Die Gruppe der Bedingung — sie gehört in den Nenner.

Hilfe: \(A\cap B\) ist ein Teil von \(A\), also \(P(A\cap B)\le P(A)\).

A2

Stimmt's? — Rechnen mit der Definition

AFB I

Fünf Behauptungen zur bedingten Wahrscheinlichkeit. Entscheide jeweils, ob sie stimmt.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Die Verwechslung von \(P_A(\overline B)\) mit \(P_{\overline A}(B)\) ist der Klassiker: Nur Anteile derselben Gruppe ergänzen sich zu 1.

Frage: In welcher Gruppe wird jeweils gezählt?Nur Anteile in derselben Gruppe lassen sich addieren.

Hilfe: Denke an einen Knoten im Baum: Welche Äste gehen von ihm aus?

A3

Lückentext: vom Zählen zur Formel

AFB I

Erläutere mit dem Lückentext, wie die Formel für \(P_A(B)\) entsteht — ein Baustein bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Für \(P_A(B)\) wird nur die Gruppe betrachtet; sie bildet das neue . Gezählt werden darin die Fälle von . Teilt man Zähler und Nenner durch die , entsteht \(\tfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\). Beim Deuten nennt man immer die .

\(P(B)\) bleibt übrig — es gehört gar nicht in die Formel. Wer beim Deuten die Bezugsgruppe weglässt („75 % sind zufrieden“), verwandelt eine bedingte Aussage in eine über alle.

Idee: Erst Gruppe herauslösen, dann darin zählen, dann umformen.Die Reihenfolge der Lücken folgt diesem Weg.

Hilfe: Das Teilen durch \(n\) verändert den Bruch nicht — es macht aus Anzahlen Wahrscheinlichkeiten.

A4

Handy-Reparatur

AFB II Mix

In einer Reparaturwerkstatt haben 35 % der Geräte einen Displayschaden (\(D\)). 53 % aller Geräte sind Garantiefälle (\(G\)); 39 % aller Geräte sind Garantiefälle ohne Displayschaden. Berechne \(P_D(G)\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Zuerst den Schnitt: \(P(D\cap G)=0{,}53-0{,}39=0{,}14\). Dann \(P_D(G)=\tfrac{0{,}14}{0{,}35}=0{,}4\). Typischer Fehler: \(\tfrac{0{,}14}{0{,}53}\) — das ist \(P_G(D)\), der Nenner muss die Bedingung \(D\) sein.

Ansatz: Für die Formel brauchst du \(P(D\cap G)\) und \(P(D)\).\(P(D)\) ist gegeben, \(P(D\cap G)\) steckt in der Spalte \(G\).

Hilfe: \(P(G)=P(D\cap G)+P(\overline D\cap G)\).

A5

Größer, gleich oder kleiner?

AFB II

Jede Karte nennt \(P(A)\), \(P(B)\) und \(P(A\cap B)\). Vergleiche jeweils \(P_A(B)\) mit \(P(B)\) und lege die Karte in den passenden Korb.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1größer als P(B)

2gleich P(B)

3kleiner als P(B)

Werte: \(0{,}6;\ 0{,}4;\ 1\) (größer), \(0{,}5;\ 0{,}35\) (gleich), \(0{,}3;\ 0{,}25;\ 0{,}6\) (kleiner). Falle: \(P(A\cap B)\) direkt mit \(P(B)\) vergleichen — der Schnitt ist fast immer kleiner, das sagt aber nichts über die Gruppe \(A\).

Ansatz: Berechne für jede Karte zuerst \(P_A(B)\).Erst dann vergleichen.

Hilfe: Bei der letzten Karte: \(\tfrac{0{,}3}{0{,}5}=0{,}6<0{,}7\).

A6

Hauptuntersuchung beim Auto

AFB II

Bei der Hauptuntersuchung gilt für einen Prüfstandort: 45 % der Autos sind älter als zehn Jahre (\(Ä\)), bei 30 % aller Autos werden Mängel festgestellt (\(M\)), 20 % aller Autos sind alt und haben Mängel. Bestimme Schritt für Schritt (vier Nachkommastellen):

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

\(P_Ä(M)\)
\(P(\overline Ä\cap M)\)
\(P_{\overline Ä}(M)\)
\(P_M(Ä)\)

\(\tfrac{0{,}2}{0{,}45}\approx0{,}4444\); \(0{,}3-0{,}2=0{,}1\); \(\tfrac{0{,}1}{0{,}55}\approx0{,}1818\); \(\tfrac{0{,}2}{0{,}3}\approx0{,}6667\). Im dritten Schritt wird gern durch \(0{,}45\) statt durch \(P(\overline Ä)=0{,}55\) geteilt.

Ansatz: Jede bedingte Wahrscheinlichkeit ist „Schnitt durch Bedingung“.Den fehlenden Schnitt liefert die Vierfeldertafel.

Hilfe: \(P(\overline Ä)=1-0{,}45=0{,}55\).

A7

Kino-Umfrage deuten

AFB II

Eine Kino-Umfrage: \(J\) = jünger als 25, \(O\) = schaut Filme meist im Originalton. Interpretiere jede Angabe, indem du den passenden Satz wählst.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Jede Deutung muss die Bezugsgruppe nennen: „der unter 25-Jährigen“, „der Originalton-Fans“ oder „aller Befragten“. Wer bei \(P_O(J)\) „60 % der Jungen …“ schreibt, hat Bedingung und Gefragtes vertauscht. (Die Werte passen zusammen: \(P(J)=\tfrac{0{,}18}{0{,}45}=0{,}4\).)

Ansatz: Der Index wird zu „der …“ im Satz.Ohne Index heißt es „aller Befragten“.

Hilfe: \(P_{\overline J}(O)\): Bezugsgruppe sind die Befragten ab 25.

A8

Ein Lösungsweg in fünf Schritten

AFB III

Bei einer Fluggesellschaft sind 25 % der Flüge Langstreckenflüge (\(L\)); 10 % aller Flüge sind verspätete Langstreckenflüge (\(V\)). Gefragt ist der Anteil verspäteter Flüge unter den Langstreckenflügen. Entwickle den Lösungsweg, indem du die Schritte ordnest.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Bedingung festlegen: gefragt ist „unter den Langstreckenflügen“, also \(L\)

2Nenner notieren: \(P(L)=0{,}25\)

3Zähler notieren: \(P(L\cap V)=0{,}10\)

4Quotient bilden: \(P_L(V)=\tfrac{0{,}10}{0{,}25}=0{,}4\)

5Deuten: 40 % der Langstreckenflüge sind verspätet.

Wer die Bedingung nicht zuerst festlegt, erwischt leicht den falschen Nenner. Und ohne den letzten Schritt bleibt die Zahl 0,4 ohne Bedeutung — gedeutet wird immer mit Bezugsgruppe.

Frage: Woran erkennst du, welche Wahrscheinlichkeit in den Nenner kommt?An der Bedingung.

Hilfe: Bedingung — Nenner — Zähler — Quotient — Deutung.

A9

Fehlersuche im Gewächshaus

AFB III

Eine Gärtnerei untersucht Samen: 40 % sind vorbehandelt (\(V\)), 70 % keimen (\(K\)), 36 % sind vorbehandelt und keimen. Überprüfe die Auswertung — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Zweimal steht der falsche Nenner, einmal fehlt in der Deutung die Bezugsgruppe. Gerade Zeile 5 klingt plausibel — sie beschreibt aber den Schnitt, und der ist nur 36 %.

Strategie: Prüfe bei jeder Zeile: Steht die Bedingung im Nenner?Bei Deutungen: Wird die Gruppe genannt?

Hilfe: \(P(\overline V)=0{,}6\).

A10

Trickaufgabe — kleiner Schnitt, großer Anteil

AFB III

In einem Tennisverein spielen 8 % der Mitglieder linkshändig (\(L\)), 40 % spielen in einer Mannschaft (\(M\)), und 6 % aller Mitglieder sind linkshändige Mannschaftsspieler. Schätze jeden Wert ab, ohne genau zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = unter 0,2, 2 = 0,2 bis 0,4, 3 = 0,4 bis 0,6, 4 = 0,6 bis 0,8, 5 = über 0,8. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = unter 0,25 = über 0,8

\(P(L\cap M)\)

\(P_L(M)\)

\(P_M(L)\)

\(P_{\overline L}(M)\)

\(P_{\overline M}(\overline L)\)

Die Falle: 6 % wirkt klein, doch unter den Linkshändern sind es \(\tfrac{0{,}06}{0{,}08}=0{,}75\). Unter den Mannschaftsspielern ist der Linkshänder-Anteil dagegen nur \(\tfrac{0{,}06}{0{,}4}=0{,}15\). \(P_{\overline L}(M)=\tfrac{0{,}34}{0{,}92}\approx0{,}37\), \(P_{\overline M}(\overline L)=\tfrac{0{,}58}{0{,}6}\approx0{,}97\).

Ansatz: Ein kleiner Nenner macht einen kleinen Schnitt zu einem großen Anteil.Vergleiche den Schnitt mit der Größe der Bezugsgruppe.

Hilfe: \(P(\overline L\cap M)=0{,}4-0{,}06=0{,}34\), \(P(\overline L\cap\overline M)=0{,}92-0{,}34=0{,}58\).

Übungen: Bedingte Wahrscheinlichkeit

Übungsaufgaben