Tarife im Fitnessstudio
AFB I–IIEin Fitnessstudio wertet die Daten seiner Mitglieder aus. 35 % haben den Premium-Tarif (\(T\)). 30 % aller Mitglieder trainieren mehr als dreimal pro Woche (\(H\)). 14 % aller Mitglieder haben den Premium-Tarif und trainieren mehr als dreimal pro Woche.
- Berechnen Sie \(P_T(H)\) und \(P_{\overline T}(H)\).
- Interpretieren Sie den Wert \(P_T(H)\) im Sachzusammenhang.
- Bestimmen Sie den Anteil der Premium-Mitglieder unter den Vieltrainierenden.
- Vergleichen Sie \(P_T(H)\) mit \(P(H)\) und deuten Sie das Ergebnis.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(P_T(H)=\tfrac{0{,}14}{0{,}35}=0{,}4\).
\(P(\overline T\cap H)=0{,}30-0{,}14=0{,}16\), \(P(\overline T)=0{,}65\), also \(P_{\overline T}(H)=\tfrac{0{,}16}{0{,}65}\approx0{,}246\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
40 % der Mitglieder mit Premium-Tarif trainieren mehr als dreimal pro Woche. Die Aussage bezieht sich nur auf die Premium-Mitglieder, nicht auf alle.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Bedingung ist \(H\): \(P_H(T)=\tfrac{0{,}14}{0{,}30}\approx0{,}467\). Knapp 47 % der Vieltrainierenden haben den Premium-Tarif.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(P_T(H)=0{,}4>P(H)=0{,}3\). Unter den Premium-Mitgliedern ist der Anteil der Vieltrainierenden höher als unter allen Mitgliedern (und deutlich höher als unter den übrigen mit knapp 25 %).
Bewertungen auf einem Hotelportal
AFB II–IIIEin Hotelportal unterscheidet Bewertungen von Gästen mit nachgewiesenem Aufenthalt (\(V\), „verifiziert“) und Bewertungen ohne Nachweis. Für ein großes Hotel liegen 2400 Bewertungen vor; \(F\) bedeutet „Fünf-Sterne-Bewertung“. Die Tabelle zeigt die Anzahlen der inneren Felder.
| \(F\) | \(\overline F\) | |
|---|---|---|
| \(V\) | 450 | 1050 |
| \(\overline V\) | 540 | 360 |
Auf der Hotelseite wirbt der Betreiber: „41,25 % unserer Gäste vergeben die Höchstnote!“
- Erstellen Sie eine vollständige Vierfeldertafel mit relativen Häufigkeiten.
- Weisen Sie mithilfe der Tafel und der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit nach, dass \(P_V(F)=0{,}3\) und \(P_{\overline V}(F)=0{,}6\) gilt.
- Ein Kritiker behauptet: „Mehr als die Hälfte aller Fünf-Sterne-Bewertungen stammt von nicht verifizierten Konten.“ Bestätigen Sie diese Aussage rechnerisch.
- Nehmen Sie Stellung zur Werbeaussage des Betreibers.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(P(V\cap F)=0{,}1875\), \(P(V\cap\overline F)=0{,}4375\), \(P(\overline V\cap F)=0{,}225\), \(P(\overline V\cap\overline F)=0{,}15\).
Ränder: \(P(V)=0{,}625\), \(P(\overline V)=0{,}375\), \(P(F)=0{,}4125\), \(P(\overline F)=0{,}5875\); Ecke 1.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(P_V(F)=\tfrac{P(V\cap F)}{P(V)}=\tfrac{0{,}1875}{0{,}625}=0{,}3\).
\(P_{\overline V}(F)=\tfrac{P(\overline V\cap F)}{P(\overline V)}=\tfrac{0{,}225}{0{,}375}=0{,}6\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Bezugsgruppe sind die Fünf-Sterne-Bewertungen: \(P_F(\overline V)=\tfrac{0{,}225}{0{,}4125}=\tfrac{540}{990}\approx0{,}545\).
Rund 54,5 % der Fünf-Sterne-Bewertungen stammen von nicht verifizierten Konten — die Aussage stimmt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Zahl 41,25 % ist \(P(F)\), bezogen auf alle Bewertungen. „Unsere Gäste“ sind aber nur bei den verifizierten Bewertungen sicher Gäste; unter ihnen vergeben nur 30 % die Höchstnote.
Die nicht verifizierten Bewertungen sind mit 60 % Höchstnoten auffällig positiv und stellen die Mehrheit der Fünf-Sterne-Bewertungen. Sie heben den Gesamtwert an.
Mögliches Urteil: Die Werbeaussage ist irreführend; sachgerecht wäre „30 % der verifizierten Gäste vergeben die Höchstnote“. Man kann einwenden, dass auch nicht verifizierte Bewertungen von echten Gästen stammen können — dann wäre ein Wert zwischen 30 % und 41,25 % plausibel; genau wissen kann man es aus den Daten nicht.