Die Bernoulli-Kette: Übungen – Mathe Klasse 13

A1

Kette oder nicht?

AFB I

Nicht jede Wiederholung eines Zufallsexperiments ist eine Bernoulli-Kette. Gib alle Vorgänge an, die sich als Bernoulli-Kette modellieren lassen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Ohne Zurücklegen ändert sich \(p\) von Zug zu Zug (Herz: erst \(\tfrac{8}{32}\), danach \(\tfrac{7}{31}\) oder \(\tfrac{8}{31}\)). Eine Temperatur hat viele Ergebnisse statt zwei, und „bis zur ersten Eins“ hat keine feste Länge \(n\). Bei den Fahrgästen ist die Gesamtheit so groß, dass \(p\) praktisch gleich bleibt.

Prüfliste: zwei Ergebnisse? feste Anzahl \(n\)? gleiches \(p\) in jeder Stufe?Nur wenn alle drei Fragen mit Ja beantwortet werden, liegt eine Bernoulli-Kette vor.

Hilfe: Achte auf „ohne Zurücklegen“ und auf „so lange, bis“ — beide verletzen eine Bedingung.

A2

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Fünf Behauptungen über Bernoulli-Experimente und -Ketten. Entscheide jeweils, ob sie stimmen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Die häufigste Verwechslung: \(2\cdot n\) statt \(2^n\) Pfade. Jede neue Stufe hängt an jedes bisherige Pfadende zwei Äste — die Anzahl verdoppelt sich also.

Frage: Was passiert mit der Anzahl der Pfade, wenn eine Stufe dazukommt?An jedes Pfadende werden zwei neue Äste gehängt.

Hilfe: \(n=1\): 2 Pfade, \(n=2\): 4 Pfade, \(n=3\): 8 Pfade …

A3

Lückentext mit Wortbank

AFB I

Beschreibe mit den Fachbegriffen, was eine Bernoulli-Kette ausmacht — ein Baustein bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ergebnissen heißt . Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bezeichnet man mit , die Niete hat dann die Wahrscheinlichkeit . Führt man dieses Experiment \(n\)-mal voneinander durch, sodass sich die Trefferwahrscheinlichkeit nicht ändert, entsteht eine .

„ohne Zurücklegen“ bleibt übrig: Genau dann ändert sich \(p\) von Stufe zu Stufe — die Durchführungen sind nicht mehr unabhängig, und es entsteht keine Bernoulli-Kette.

Idee: Vom Einzelversuch zur Kette — in dieser Reihenfolge ist der Text aufgebaut.Erst wird das einzelne Experiment beschrieben, dann seine Wiederholung.

Hilfe: Die Niete ist das Gegenereignis des Treffers.

A4

Ein bestimmter Pfad

AFB II

Ein Sprachassistent erkennt einen gesprochenen Befehl mit der Wahrscheinlichkeit \(0{,}9\), unabhängig von vorherigen Befehlen. Jonas gibt vier Befehle nacheinander. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten drei erkannt werden und nur der vierte nicht.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Gesucht ist genau ein Pfad: \(P(TTTN)=0{,}9^3\cdot0{,}1=0{,}0729\). Häufiger Fehler: mit \(4\) malnehmen, weil die Niete „irgendwo“ sein könnte — die Aufgabe legt aber fest, dass es der vierte Befehl ist.

Ansatz: Schreibe den Pfad als Folge von \(T\) und \(N\).Die Pfadregel multipliziert die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.

Rechnung: Dreimal \(0{,}9\), einmal \(0{,}1\).

A5

Treffer festlegen — welches p?

AFB II Mix

Bei jedem Vorgang wird festgelegt, was als Treffer zählt. Ordne jede Karte nach ihrer Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) ein.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1p = 1/4

2p = 1/3

3p = 1/2

Oktaeder: 7 und 8 sind \(\tfrac28=\tfrac14\). Zwölfflächner: \(\{3,6,9,12\}\) bzw. \(\{1,2,3,4\}\) sind je \(\tfrac4{12}=\tfrac13\). Würfel-Primzahlen sind 2, 3 und 5 — wer die 1 mitzählt, landet falsch bei \(\tfrac23\). „Zweimal Kopf“ ist schon ein Pfad aus zwei Stufen: \(\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14\).

Ansatz: Zähle die Treffer-Ergebnisse und teile durch alle gleich wahrscheinlichen Ergebnisse.Das ist die Laplace-Regel aus der Sek I.

Hilfe: Ein Skatblatt hat vier Farben mit je 8 Karten, zwei davon sind rot.

A6

Rechenkette: Spam im Postfach

AFB II Mix

Erfahrungsgemäß ist jede eingehende Mail unabhängig mit der Wahrscheinlichkeit \(0{,}3\) Spam (Treffer). Drei Mails kommen an. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten Schritt für Schritt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

\(P(NNN)\): keine Spam-Mail
\(P(TTT)\): nur Spam
\(P(TNN)\): nur die erste ist Spam
mindestens eine Spam-Mail

Pfadregel: \(0{,}7^3=0{,}343\), \(0{,}3^3=0{,}027\), \(0{,}3\cdot0{,}7^2=0{,}147\). „Mindestens eine“ ist das Gegenereignis zu \(NNN\): \(1-0{,}343=0{,}657\). Typischer Fehler: \(0{,}3\cdot3=0{,}9\) rechnen — dabei würden Pfade mehrfach gezählt.

Ansatz: Jeder Schritt ist ein Pfad im Baum mit drei Stufen.Entlang eines Pfades wird multipliziert.

Hilfe: Beim letzten Schritt hilft das Gegenereignis „keine Spam-Mail“.

A7

Pfad und Wahrscheinlichkeit

AFB II

Ein Tomatensamen keimt mit der Wahrscheinlichkeit \(0{,}8\). Gezählt wird, ob ein Samen nicht keimt (Treffer, \(p=0{,}2\)). Drei Samen werden gesät. Ordne zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Hier ist der Treffer das Unerwünschte: \(T\) heißt „keimt nicht“ mit \(p=0{,}2\). \(P(NNN)=0{,}8^3=0{,}512\) bedeutet also „alle drei keimen“. Wer \(T\) automatisch mit \(0{,}8\) belegt, vertauscht alle Werte.

Ansatz: Schreibe zuerst an jeden \(T\)-Ast \(0{,}2\) und an jeden \(N\)-Ast \(0{,}8\).Dann ist jede Pfadwahrscheinlichkeit ein Produkt aus drei Faktoren.

Hilfe: \(P(NTN)=0{,}8\cdot0{,}2\cdot0{,}8\); Pfade: \(2^3\).

A8

Vom Text zum Pfad

AFB III

Ein Paketdienst stellt jedes Paket unabhängig mit der Wahrscheinlichkeit \(0{,}15\) verspätet zu. Frau Y erwartet vier Pakete; gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur das letzte verspätet ist. Entwickle die Reihenfolge der Arbeitsschritte.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Einzelne Stufe benennen: Zustellung eines Pakets

2Treffer und Niete festlegen: \(T\) = „verspätet“, \(N\) = „pünktlich“

3Wahrscheinlichkeiten angeben: \(p=0{,}15\), \(1-p=0{,}85\)

4Bedingungen prüfen: unabhängig, gleiches \(p\) — Bernoulli-Kette mit \(n=4\)

5Pfad \(NNNT\) mit der Pfadregel: \(0{,}85^3\cdot0{,}15\approx0{,}092\)

Oft wird gleich gerechnet und dabei \(T\) mit \(0{,}85\) belegt, weil „pünktlich“ das Normale ist. Erst die Festlegung von Treffer und Niete macht klar, welcher Ast welchen Wert trägt: \(0{,}85^3\cdot0{,}15\approx0{,}092\).

Frage: Was muss feststehen, bevor du \(p\) angeben kannst?Welches Ergebnis als Treffer zählt.

Hilfe: Reihenfolge: Stufe — Treffer — \(p\) — Bedingungen — Rechnung.

A9

Fehlersuche im Quiz-Heft

AFB III

Ein Quiz hat fünf Fragen mit je drei Antworten, genau eine ist richtig; Lina rät bei jeder Frage. Sechs Sätze aus ihrem Heft — überprüfe sie, drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Zeile 4 ist der Klassiker: \(1-\left(\tfrac13\right)^5\) ist das Gegenereignis zu „alle richtig“, also „mindestens eine falsch“ — nicht „alle falsch“.

Strategie: Übersetze jede Aussage in einen Pfad oder ein Gegenereignis.Dann siehst du, ob Term und Worte zusammenpassen.

Hilfe: Zeile 5: \(\tfrac19\cdot\tfrac8{27}=\tfrac8{243}\approx0{,}033\).

A10

Trickaufgabe — ein Pfad ist wenig

AFB III

Ein Rasenroboter startet morgens mit der Wahrscheinlichkeit \(0{,}9\) ohne Störung (Treffer), unabhängig von Tag zu Tag. Betrachtet werden 10 Tage. Schätze jede Wahrscheinlichkeit ab.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = unter 0,01, 2 = 0,01 bis 0,1, 3 = 0,1 bis 0,3, 4 = 0,3 bis 0,6, 5 = über 0,6. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = unter 0,015 = über 0,6

Nur Nieten: \(NNNNNNNNNN\)

Genau der Pfad \(TTTTTTTTTN\)

Mindestens einer der ersten beiden Tage ist eine Niete

Alle zehn Tage ohne Störung

Mindestens ein Tag mit Störung

Die Falle: \(TTTTTTTTTN\) wirkt „typisch“, ist aber nur ein Pfad: \(0{,}9^9\cdot0{,}1\approx0{,}039\). Dagegen ist „alle zehn ohne Störung“ nur \(0{,}9^{10}\approx0{,}349\) — und deshalb „mindestens eine Störung“ mit \(\approx0{,}651\) wahrscheinlicher. Erste zwei Tage: \(1-0{,}9^2=0{,}19\); lauter Nieten: \(0{,}1^{10}\).

Ansatz: Überlege bei jeder Zeile: ein einzelner Pfad oder ein Gegenereignis?Ein einzelner langer Pfad hat fast immer eine kleine Wahrscheinlichkeit.

Hilfe: \(0{,}9^{10}\approx0{,}35\) — alles andere lässt sich daraus ableiten.

Übungen: Die Bernoulli-Kette

Übungsaufgaben