Ausleihen in der Stadtbücherei
AFB I–IIEine Stadtbücherei wertet 1200 Ausleihen eines Monats aus. 30 % der Ausleihen erfolgten durch Schülerinnen und Schüler (\(S\)). Von den Ausleihen durch Schülerinnen und Schüler waren 60 % digital (\(D\)), von den übrigen Ausleihen nur 20 %.
- Geben Sie die drei im Text genannten Wahrscheinlichkeiten in Fachschreibweise an und nennen Sie jeweils das bedingende Ereignis, falls es eines gibt.
- Zeichnen Sie das Baumdiagramm mit \(S\) als erster Stufe und beschriften Sie alle Äste.
- Berechnen Sie den Anteil der digitalen Ausleihen durch Schülerinnen und Schüler an allen Ausleihen sowie den Anteil aller digitalen Ausleihen.
- Erläutern Sie den Unterschied zwischen den Aussagen „60 % der Schüler-Ausleihen sind digital“ und „60 % der digitalen Ausleihen stammen von Schülern“ und überprüfen Sie die zweite Aussage mithilfe von Anzahlen.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(P(S)=0{,}3\) — keine Bedingung, bezogen auf alle Ausleihen.
\(P_S(D)=0{,}6\) — bedingendes Ereignis \(S\).
\(P_{\overline S}(D)=0{,}2\) — bedingendes Ereignis \(\overline S\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
1. Stufe: \(P(S)=0{,}3\), \(P(\overline S)=0{,}7\).
2. Stufe: \(P_S(D)=0{,}6\), \(P_S(\overline D)=0{,}4\), \(P_{\overline S}(D)=0{,}2\), \(P_{\overline S}(\overline D)=0{,}8\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(P(S\cap D)=0{,}3\cdot0{,}6=0{,}18\): 18 % aller Ausleihen sind digitale Ausleihen durch Schülerinnen und Schüler.
\(P(D)=0{,}18+0{,}7\cdot0{,}2\) \(=0{,}18+0{,}14=0{,}32\): 32 % aller Ausleihen sind digital.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die erste Aussage bezieht sich auf die Gruppe der Schüler-Ausleihen (\(P_S(D)\)), die zweite auf die Gruppe der digitalen Ausleihen (\(P_D(S)\)) — bedingendes und bedingtes Ereignis sind vertauscht.
Anzahlen: \(S\): 360 Ausleihen, davon 216 digital; \(\overline S\): 840, davon 168 digital. Digitale Ausleihen insgesamt: 384.
\(P_D(S)=\tfrac{216}{384}=0{,}5625\). Die zweite Aussage ist also falsch: Nur gut 56 % der digitalen Ausleihen stammen von Schülern.
Unfälle bei Dunkelheit
AFB II–IIIDie Polizei einer Großstadt hat 2000 Verkehrsunfälle eines Jahres danach erfasst, ob sie sich bei Dunkelheit (\(D\)) ereigneten und ob Personen verletzt wurden (\(P\)); \(\overline P\) bedeutet „nur Sachschaden“, \(\overline D\) „bei Tageslicht“. Die Tabelle zeigt die Anzahlen.
| \(P\) | \(\overline P\) | Summe | |
|---|---|---|---|
| \(D\) | 150 | 350 | 500 |
| \(\overline D\) | 300 | 1200 | 1500 |
| Summe | 450 | 1550 | 2000 |
Ein Onlinemagazin schreibt: „Zwei Drittel aller Unfälle mit Verletzten passieren bei Tageslicht. Autofahren im Dunkeln ist also gar nicht gefährlicher.“
- Ermitteln Sie den Anteil der Unfälle mit Personenschaden unter den Unfällen bei Dunkelheit und unter den Unfällen bei Tageslicht. Geben Sie jeweils die Fachschreibweise an.
- Untersuchen Sie, welche bedingte Wahrscheinlichkeit der Angabe „zwei Drittel“ zugrunde liegt und welches Ereignis dabei das bedingende ist.
- Beurteilen Sie die Schlussfolgerung des Onlinemagazins.
- Formulieren Sie eine Schlagzeile, die den Befund aus der Tabelle korrekt wiedergibt.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(P_D(P)=\tfrac{150}{500}=0{,}3\): Bei 30 % der Unfälle bei Dunkelheit werden Personen verletzt.
\(P_{\overline D}(P)=\tfrac{300}{1500}=0{,}2\): Bei 20 % der Unfälle bei Tageslicht werden Personen verletzt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Das Magazin bezieht sich auf die Unfälle mit Personenschaden: \(P_P(\overline D)=\tfrac{300}{450}=\tfrac23\approx0{,}667\).
Bedingendes Ereignis ist \(P\) (Personenschaden), bedingtes Ereignis ist \(\overline D\) (Tageslicht).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Schlussfolgerung ist nicht haltbar. \(P_P(\overline D)\approx0{,}67\) sagt nur, wann die Unfälle mit Verletzten stattfinden. Dass dies meist bei Tageslicht ist, liegt daran, dass bei Tageslicht insgesamt viel mehr Unfälle passieren (1500 von 2000) — vermutlich, weil tagsüber mehr Verkehr herrscht.
Für die Gefährlichkeit muss man die Unfälle unter der Bedingung der Lichtverhältnisse vergleichen: Bei Dunkelheit führt ein Unfall mit 30 % deutlich häufiger zu Verletzten als bei Tageslicht mit 20 %. Die Daten sprechen also eher für ein höheres Verletzungsrisiko im Dunkeln.
Einschränkung: Die Daten enthalten keine Angaben zur gefahrenen Strecke; ob ein einzelner gefahrener Kilometer im Dunkeln gefährlicher ist, lässt sich daraus nicht ablesen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Zum Beispiel: „Unfälle bei Dunkelheit gehen häufiger mit Verletzten aus: 30 % gegenüber 20 % bei Tageslicht.“
Entscheidend ist, dass die Bezugsgruppe (Unfälle bei Dunkelheit bzw. bei Tageslicht) genannt wird.