Von der Binomial- zur Normalverteilung: Zusammenfassung – Mathe Klasse 13

Die Normalverteilung

Messgrößen sind stetig; ihre Wahrscheinlichkeiten sind Flächen unter einer Dichtefunktion — oft unter der Gaußschen Glocke.

Diskret oder stetig

Zählen liefert diskrete, Messen stetige Zufallsgrößen; bei stetigen gilt P(X = a) = 0.

Tore: diskret · Wartezeit: stetig

Histogramm

Säulenfläche = relative Häufigkeit; Höhe = relative Häufigkeit : Klassenbreite.

0,22 : 20 cm = 0,011 pro cm

Glockenkurve

Hochpunkt bei μ, Wendestellen bei μ ± σ, Fläche 1.

f(μ) = 1 : (σ√(2π))

Näherung

Für σ > 3 ersetzt die Glocke das Binomialhistogramm, mit Stetigkeitskorrektur.

P(X ≤ k) ≈ Φ(k + 0,5)

Normalverteilung

P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f(x) dx = Φ(b) − Φ(a)

GTR: STAT › DIST › NORM › Ncd (Lower, Upper, σ, μ) · CAS: normCdf(a, b, μ, σ) · Grenzen: InvN bzw. invNorm.

Casio: σ vor μ

Beim fx-CG50 wird erst σ, dann μ eingegeben — beim TI-Nspire umgekehrt.

Prognosen bei bekanntem p

Ist p bekannt, sagen die σ-Regeln voraus, in welchem Bereich Trefferzahl oder Anteil einer Stichprobe liegen werden.

Näherungsmodell

Ohne Zurücklegen, aber n ≤ 5 % von N: Binomialverteilung mit p = K : N.

200 aus 50 000: passt

σ-Regeln

1,64σ → 90 %, 1,96σ → 95 %, 2,58σ → 99 %; Voraussetzung σ > 3.

μ ± 1,96σ

Prognoseintervall

Grenzen μ ± 1,96σ, ganzzahlig nach innen runden.

n = 500, p = 0,3: [130; 170]

Verträglichkeit

h in der Umgebung um p: verträglich, sonst nicht verträglich.

0,4 ± 0,030: h = 0,37 verträglich

Umgebung für den Anteil

p − 1,96 · √(p(1 − p) : n) ≤ h ≤ p + 1,96 · √(p(1 − p) : n)

Vierfacher Stichprobenumfang halbiert die Breite.

Verträglich ist nicht bewiesen

Liegt h in der Umgebung, spricht nichts gegen p — andere Werte von p können aber ebenso passen.

Schlüsse auf unbekanntes p

Aus einer Stichprobe wird ein Intervall für p gewonnen — mit einer Sicherheit, die sich auf das Verfahren bezieht.

Konfidenzintervall

Alle p, mit denen das beobachtete h verträglich ist.

h = 0,36, n = 500: [0,319; 0,403]

Berechnen

Ungleichung nach p lösen: CAS solve oder Schnittstellen im GTR.

|h − p| ≤ 1,96 · √(p(1 − p) : n)

Sicherheit

Etwa 95 % aller so gewonnenen Intervalle enthalten p.

γ ≈ relative Häufigkeit

Stichprobe planen

Mit p(1 − p) ≤ 0,25 den nötigen Umfang abschätzen.

± 2 Punkte, 95 %: n ≥ 2401

Konfidenzintervall

{ p : |h − p| ≤ 1,96 · √(p(1 − p) : n) }

Näherung für großes n: h ± 1,96 · √(h(1 − h) : n).

Der Zufall steckt in den Grenzen

p ist fest. Die Intervallgrenzen schwanken von Stichprobe zu Stichprobe.