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Abituraufgaben: Normalverteilung am Rechner

Schrecksekunde und Bolzenmaß — zwei Fälle, in denen die Glocke entscheidet, wer zu langsam und was Ausschuss ist.

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Schrecksekunde

AFB I–II

Bei einem Reaktionstest in der Fahrschule wird gemessen, wie lange Fahrschüler brauchen, um nach einem Lichtsignal das Bremspedal zu treten. Die Reaktionszeit \(X\) (in s) wird als normalverteilt mit \(\mu=0{,}45\) und \(\sigma=0{,}08\) angenommen.

Reaktionszeit
0,290,370,450,530,610,6 sReaktionszeit in s
Modell: \(\mu=0{,}45\,\mathrm s\), \(\sigma=0{,}08\,\mathrm s\); markiert: \(X\gt 0{,}6\).
  1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrschüler länger als 0,6 s braucht.
  2. Ermitteln Sie den Anteil der Fahrschüler mit einer Reaktionszeit zwischen 0,35 s und 0,55 s.
  3. Bestimmen Sie die Reaktionszeit, die von 95 % der Fahrschüler nicht überschritten wird.
  4. Erläutern Sie, warum das Modell auch negative Reaktionszeiten zulässt, und beurteilen Sie, ob das stört.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Upper = 1E99 oder Gegenwahrscheinlichkeit.
Hinweis zu Aufgabe b)
Beide Grenzen in Ncd bzw. normCdf eingeben.
Hinweis zu Aufgabe c)
Gesucht ist eine Grenze: invNorm.
Hinweis zu Aufgabe d)
Die Glockenkurve reicht bis \(-\infty\); berechne \(P(X\lt 0)\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(P(X\gt 0{,}6)=\text{normCdf}(0.6,\infty,0.45,0.08)\approx0{,}0304\). Etwa 3 % reagieren langsamer als 0,6 s.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(0{,}35\le X\le0{,}55)\approx0{,}7887\), also knapp 79 %.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(x=\text{invNorm}(0.95,0.45,0.08)\approx0{,}582\,\mathrm s\). 95 % reagieren in höchstens etwa 0,58 s.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die Normalverteilung ist für alle reellen Zahlen positiv, also ist formal \(P(X\lt 0)>0\). Es gilt aber \(P(X\lt 0)\approx9\cdot10^{-9}\) — 0 liegt 5,6 σ unter μ. Für praktische Zwecke ist das bedeutungslos; das Modell ist trotzdem angemessen.

2

Bolzen nach Maß

AFB II–III

Eine Maschine fertigt Bolzen, deren Durchmesser \(X\) (in mm) normalverteilt ist mit \(\mu=12{,}00\) und \(\sigma=0{,}03\). Ein Kunde akzeptiert nur Bolzen zwischen 11,95 mm und 12,05 mm; alle anderen sind Ausschuss.

Die Firma überlegt zwei Maßnahmen: eine neue Maschine mit kleinerer Streuung oder eine häufigere Justierung, weil sich die alte Maschine im Laufe des Tages auf \(\mu=12{,}02\) verstellt.

Durchmesser der Bolzen
11,9411,9712,012,0312,0611,9512,05Durchmesser in mm
Grün: Toleranzbereich 11,95 mm bis 12,05 mm.
  1. Weisen Sie nach, dass der Ausschussanteil bei \(\mu=12{,}00\) knapp 10 % beträgt.
  2. Leiten Sie her, bei welcher Standardabweichung der Ausschuss nur noch 1 % beträgt.
  3. Untersuchen Sie, wie sich der Ausschuss ändert, wenn sich die alte Maschine auf \(\mu=12{,}02\) verstellt.
  4. Nehmen Sie Stellung dazu, welche Maßnahme die Firma zuerst umsetzen sollte.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Ausschuss liegt außerhalb der Toleranz — auf beiden Seiten.
Hinweis zu Aufgabe b)
Symmetrie: je 0,5 % links und rechts; \(\text{invNorm}(0.995)\) der Standardnormalverteilung.
Hinweis zu Aufgabe c)
Grenzen bleiben, μ ändert sich.
Hinweis zu Aufgabe d)
Vergleiche die Wirkung beider Maßnahmen auf den Ausschuss; auch Kosten bedenken.Eigene begründete Position.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(1-\text{normCdf}(11.95,12.05,12,0.03)\approx1-0{,}9044=0{,}0956\), also etwa 9,6 %.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Gefordert: \(\tfrac{0{,}05}{\sigma}=z\) mit \(\Phi(z)=0{,}995\), also \(z\approx2{,}576\). Dann \(\sigma=\tfrac{0{,}05}{2{,}576}\approx0{,}0194\,\mathrm{mm}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(1-\text{normCdf}(11.95,12.05,12.02,0.03)\approx0{,}168\). Der Ausschuss steigt von 9,6 % auf fast 17 %, weil die obere Grenze nur noch 1 σ entfernt ist.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die Justierung verhindert den Anstieg von 9,6 % auf 17 % und ist vermutlich billig — sie sollte zuerst erfolgen. Selbst perfekt justiert bleiben aber 9,6 % Ausschuss; nur eine kleinere Streuung (σ ≈ 0,019 mm) senkt ihn auf 1 %. Sinnvoll ist also beides: kurzfristig justieren, langfristig die Streuung verringern, wenn sich die Investition durch weniger Ausschuss rechnet.