Verträglich oder nicht?: Übungen – Mathe Klasse 13

A1

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Geben Sie an, ob die Aussagen zur Verträglichkeit stimmen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Merksatz: Verträglichkeit ist eine Aussage mit Unsicherheit — sie kann eine Vermutung stützen oder anzweifeln, aber nie beweisen oder widerlegen.

Ansatz: Welche Rolle spielen p und h?

Weiter: Was heißt „95 %“ bei richtiger Vermutung?

A2

Blitzrechnung: halbe Breite

AFB I

Vermutet wird \(p=0{,}3\); befragt werden 700 Personen. Berechnen Sie die halbe Breite der 95 %-Umgebung für den Anteil (vier Nachkommastellen).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

\(1{,}96\sqrt{\tfrac{0{,}3\cdot0{,}7}{700}}\approx0{,}0339\). Verträglich sind also Stichprobenanteile zwischen etwa 0,266 und 0,334.

Ansatz: \(1{,}96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\).

Weiter: \(0{,}21:700=0{,}0003\).

A3

Lückentext: richtig formulieren

AFB I

Formulieren Sie das Ergebnis eines Verträglichkeitstests, indem Sie die Lücken füllen — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Der Stichprobenanteil liegt der 95 %-Umgebung. Er ist also mit der Vermutung. Die Vermutung ist damit ; ein ist aber möglich, denn auch bei richtiger Vermutung kommt ein solches Ergebnis in etwa 5 % der Fälle vor. Sie ist also nicht sicher .

„bewiesen“ passt nirgends — weder das eine noch das andere Ergebnis beweist etwas.

Ansatz: Außerhalb heißt nicht verträglich.

Weiter: Auch „widerlegt“ ist zu stark — deshalb „nicht sicher“.

A4

Rechenkette: Briefzustellung

AFB II

Die Post gibt an: 90 % der Briefe kommen am nächsten Tag an. In einem Test kommen 437 von 500 Briefen pünktlich an. Ermitteln Sie Schritt für Schritt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Stichprobenanteil \(h\)
\(\sigma_h\) (vier Nachkommastellen)
untere Grenze der 95 %-Umgebung (vier Nachkommastellen)
Abstand \(|h-p|\) in Vielfachen von \(\sigma_h\) (zwei Nachkommastellen)

Mit 1,94 σ_h liegt h ganz knapp innerhalb von 1,96 σ_h — verträglich, aber sehr knapp. Solche Randfälle zeigen, wie willkürlich eine feste Grenze ist.

Ansatz: \(h=437:500\), \(\sigma_h=\sqrt{0{,}09:500}\).

Weiter: \((0{,}9-0{,}874):0{,}0134\).

A5

Verträglich oder nicht?

AFB II

Ordnen Sie die Stichprobenergebnisse ein (95 %-Niveau).

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1verträglich

2nicht verträglich

Knapp: 180 von 400 ergibt 0,45 bei unterer Grenze 0,451 — außerhalb. 195 von 300 ergibt 0,65 bei unterer Grenze 0,648 — innerhalb.

Ansatz: Für jede Karte: Umgebung um p berechnen, dann h einordnen.

Weiter: Halbe Breiten: 0,049; 0,040; 0,052; 0,0196.

A6

Das Vorgehen

AFB II

Stellen Sie die Schritte eines Verträglichkeitstests in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Vermuteten Anteil p und Stichprobenumfang n festhalten

2Laplace-Bedingung prüfen

395 %-Umgebung um p berechnen

4Stichprobenanteil h berechnen und einordnen

5Ergebnis vorsichtig formulieren

Oft wird h vor der Umgebung berechnet — das ist nicht falsch, aber die Umgebung sollte unabhängig vom Ergebnis feststehen.

Ansatz: Die Vermutung kommt zuerst.

Weiter: Die Formulierung ist der letzte Schritt.

A7

Fehlersuche: Formulierungen

AFB II

Überprüfen Sie die Schlussfolgerungen einer Gruppe — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Die häufigste Übertreibung: „bewiesen“ oder „sicher falsch“. Beide Richtungen bleiben Aussagen mit Unsicherheit.

Ansatz: Suche Übertreibungen und die falsche Mitte.

Weiter: Wo steht „genau“ oder „sicher“?

A8

Was folgt aus dem Ergebnis?

AFB III

Beurteilen Sie die Aussagen: Eine Firma behauptet \(p=0{,}8\); eine Stichprobe mit \(n=400\) ergibt \(h=0{,}76\).

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Umgebung für n = 400: 0,8 ± 0,039, also [0,761; 0,839] — 0,76 knapp außerhalb. Für n = 100 wäre sie 0,8 ± 0,078 breit und 0,76 läge darin.

Ansatz: Halbe Breite \(1{,}96\sqrt{0{,}16:400}\).

Weiter: Vergleiche mit n = 100: halbe Breite doppelt so groß.

A9

Ab wann auffällig?

AFB III

Eine Münze wird 200-mal geworfen. Bestimmen Sie die kleinste Anzahl „Kopf“, die mit \(p=0{,}5\) nicht mehr verträglich ist (95 %-Niveau).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Obere Grenze der Umgebung: \(0{,}5+1{,}96\sqrt{\tfrac{0{,}25}{200}}\approx0{,}5693\), in Anzahlen 113,86. Erst ab 114-mal „Kopf“ liegt man darüber.

Ansatz: Obere Grenze der Umgebung für den Anteil berechnen.

Weiter: In Anzahlen umrechnen: mal 200, dann aufrunden.

A10

Wie weit liegt h von p entfernt?

AFB III

Schätzen Sie ab, wie weit der Stichprobenanteil im Vergleich zur Streuung \(\sigma_h\) von p entfernt liegt: 1 = unter 1 σ, 2 = 1 bis 1,8 σ, 3 = 1,8 bis 2,1 σ (Grenzfall), 4 = 2,1 bis 3 σ, 5 = über 3 σ.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = unter 1 σ, 2 = 1 bis 1,8 σ, 3 = Grenzfall, 4 = 2,1 bis 3 σ, 5 = über 3 σ. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = unter 1 σ5 = über 3 σ

\(p=0{,}5,\ n=400,\ h=0{,}51\)

\(p=0{,}2,\ n=400,\ h=0{,}23\)

\(p=0{,}5,\ n=1600,\ h=0{,}525\)

\(p=0{,}1,\ n=900,\ h=0{,}125\)

\(p=0{,}3,\ n=2100,\ h=0{,}35\)

σ_h ist 0,025, 0,02, 0,0125, 0,01 und 0,01. Die Abweichungen 0,01 bis 0,05 sind also 0,4 bis 5 Standardabweichungen — die gleiche Abweichung kann harmlos oder hochauffällig sein.

Ansatz: Berechne \(\sigma_h\) für jede Zeile.

Weiter: Abstand \(|h-p|\) durch \(\sigma_h\) teilen.

Übungen: Verträglich oder nicht?

Übungsaufgaben