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Abituraufgaben: Verträglich oder nicht?

Pakete mit Verspätung und ein Medikament im Praxistest — wann passt eine Stichprobe nicht mehr zur Behauptung?

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Kommt das Paket morgen?

AFB I–II

Ein Paketdienst wirbt: „95 % unserer Pakete werden innerhalb von 24 Stunden zugestellt.“ Eine Verbraucherzentrale verschickt 600 Testpakete; 556 davon kommen innerhalb von 24 Stunden an.

Pünktliche Pakete
Umgebung0,900,920,940,960,98h ≈ 0,927Anteil pünktlicher Pakete
95 %-Umgebung um \(p=0{,}95\) für \(n=600\) und der beobachtete Anteil.
  1. Geben Sie den Anteil pünktlicher Pakete in der Stichprobe an.
  2. Berechnen Sie die 95 %-Umgebung für den Anteil unter der Annahme, dass die Werbeaussage stimmt.
  3. Beurteilen Sie die Werbeaussage auf Grundlage des Tests.
  4. Formulieren Sie eine Pressemitteilung der Verbraucherzentrale in zwei Sätzen, die das Ergebnis korrekt wiedergibt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Anzahl durch n.
Hinweis zu Aufgabe b)
Laplace-Bedingung nicht vergessen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Liegt h in der Umgebung?
Hinweis zu Aufgabe d)
Keine Übertreibung in beide Richtungen.Unsicherheit benennen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(h=\tfrac{556}{600}\approx0{,}927\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\sigma=\sqrt{600\cdot0{,}95\cdot0{,}05}\approx5{,}34\gt 3\). \(0{,}95\pm1{,}96\sqrt{\tfrac{0{,}0475}{600}}=0{,}95\pm0{,}0174\Rightarrow[0{,}933;\,0{,}967]\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(h\approx0{,}927\) liegt unterhalb der Umgebung: nicht verträglich mit 95 %. Der tatsächliche Anteil pünktlicher Pakete ist vermutlich kleiner als beworben.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Beispiel: „In unserem Test kamen nur 92,7 % der Pakete innerhalb von 24 Stunden an. Dieses Ergebnis ist mit der beworbenen Quote von 95 % kaum vereinbar; ein Zufallsergebnis ist zwar nicht ausgeschlossen, aber unwahrscheinlich.“

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Wirkt das Medikament wie versprochen?

AFB II–III

Ein Hersteller gibt an, dass ein Medikament bei 60 % der Patienten wirkt. Klinik A behandelt 250 Patienten, davon sprechen 138 an. Klinik B behandelt 1000 Patienten, davon sprechen 552 an.

Zwei Kliniken, gleicher Anteil
Klinik A (n = 250)Klinik B (n = 1000)0,500,550,600,650,70h = 0,552Anteil der Behandlungserfolge
95 %-Umgebungen um \(p=0{,}6\).
  1. Ermitteln Sie für Klinik A, ob das Ergebnis mit der Herstellerangabe verträglich ist.
  2. Untersuchen Sie dieselbe Frage für Klinik B.
  3. Erklären Sie, warum derselbe Anteil zu verschiedenen Urteilen führt.
  4. Entwickeln Sie eine Formel für den kleinsten Stichprobenumfang, ab dem ein Anteil von 0,552 nicht mehr mit 0,6 verträglich ist, und berechnen Sie ihn.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Umgebung um 0,6 mit n = 250.
Hinweis zu Aufgabe b)
Gleicher Anteil, größeres n.
Hinweis zu Aufgabe c)
Wie hängt die Umgebung von n ab?
Hinweis zu Aufgabe d)
Abstand 0,048 muss größer als die halbe Breite sein.Ungleichung nach n auflösen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(h=0{,}552\); \(0{,}6\pm1{,}96\sqrt{\tfrac{0{,}24}{250}}=0{,}6\pm0{,}061\Rightarrow[0{,}539;\,0{,}661]\). \(h\) liegt darin: verträglich.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(0{,}6\pm1{,}96\sqrt{\tfrac{0{,}24}{1000}}=0{,}6\pm0{,}030\Rightarrow[0{,}570;\,0{,}630]\). \(h=0{,}552\) liegt außerhalb: nicht verträglich.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Umgebung schrumpft mit \(\tfrac1{\sqrt n}\). Bei 250 Patienten ist eine Abweichung von 4,8 Prozentpunkten noch als Zufall erklärbar (etwa 1,5 σ), bei 1000 Patienten nicht mehr (etwa 3,1 σ). Mehr Daten machen den Test empfindlicher.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(0{,}048\gt 1{,}96\sqrt{\tfrac{0{,}24}{n}}\iff n\gt \tfrac{1{,}96^2\cdot0{,}24}{0{,}048^2}\approx400{,}2\). Ab 401 Patienten wäre ein Anteil von 0,552 nicht mehr verträglich.