Übung — AFB III (Verallgemeinern und Reflektieren)

Musterlösung: Bei stetigen Zufallsgrößen ist eine Wahrscheinlichkeit die Fläche unter der Dichte über einem Intervall. Über dem „Intervall“ [a; a] hat die Fläche die Breite 0, also ist P(X = a) = ∫ₐᵃ f(x) dx = 0. „Möglich“ und „Wahrscheinlichkeit größer als 0“ fallen hier auseinander: Nur Intervalle positiver Länge haben positive Wahrscheinlichkeit.

Musterlösung: Die halbe Breite ist 1,96 · √(p(1 − p) : n). Bei 2n wird sie mit 1 : √2 ≈ 0,71 multipliziert — sie sinkt nur um etwa 29 %. Halbiert wird die Breite erst bei vierfachem Umfang. Die Aussage ist falsch.

Musterlösung: Mit c = 1 : (σ√(2π)) gilt f′(x) = −c · (x − μ) : σ² · e^(−(x−μ)²/(2σ²)) und f″(x) = c · e^(−(x−μ)²/(2σ²)) · ((x − μ)² : σ⁴ − 1 : σ²). Da die e-Funktion nie 0 ist, gilt f″(x) = 0 ⇔ (x − μ)² = σ² ⇔ x = μ ± σ. An beiden Stellen wechselt der Klammerterm das Vorzeichen, also liegen Wendestellen vor.

Musterlösung: Im Histogramm steht die Säule zu k über dem Intervall [k − 0,5; k + 0,5], ihre Fläche ist P(X = k). P(X ≤ k) ist die Summe aller Säulen bis einschließlich k, also die Fläche bis k + 0,5. Die Glockenkurve ersetzt die Säulen, deshalb integriert man bis k + 0,5. Ohne Korrektur fehlt die halbe Säule k.

Musterlösung: Die Aussage ist ungenau. Der Anteil p ist eine feste Zahl; das konkrete Intervall enthält p oder nicht. Die 95 % beziehen sich auf das Verfahren: Zieht man sehr viele Stichproben und bildet jeweils das Intervall, enthalten etwa 95 % dieser Intervalle den wahren Anteil.

Musterlösung: Beim Prognoseintervall ist p gegeben; gesucht ist der Bereich, in dem die Trefferzahl bzw. h einer künftigen Stichprobe mit 95 % liegt. Beim Konfidenzintervall ist h aus einer Stichprobe gegeben; gesucht sind alle p, mit denen h verträglich ist. Beide beruhen auf derselben Ungleichung |h − p| ≤ 1,96 · √(p(1 − p) : n), nur wird sie einmal nach h, einmal nach p aufgelöst.

Musterlösung: σ = √4,95 ≈ 2,22 < 3: Die Laplace-Bedingung ist verletzt, das Histogramm ist deutlich rechtsschief (μ = 5 liegt nahe 0). Die σ-Regeln sind hier nicht angemessen. Stattdessen bestimmt man das Intervall mit der Binomialverteilung (Bcd bzw. binomCdf), indem man symmetrisch um μ erweitert, bis 95 % erreicht sind.

Musterlösung: Die halbe Breite 1,96 · √(p(1 − p) : n) wird maximal, wenn g(p) = p − p² maximal ist. g′(p) = 1 − 2p = 0 ⇔ p = 0,5, g″ = −2 < 0. Am breitesten ist die Umgebung also für p = 0,5 mit g = 0,25 — deshalb rechnet man bei unbekanntem p mit 0,25.

Musterlösung: Verdoppelt man σ, wird die Kurve in x-Richtung auf das Doppelte gestreckt. Dadurch würde sich die Fläche verdoppeln. Da die Gesamtfläche einer Dichte immer 1 ist, muss die Kurve in y-Richtung mit dem Faktor ½ gestaucht werden — passend zu f(μ) = 1 : (σ√(2π)).

Musterlösung: Mit p(1 − p) ≤ 0,25 muss c · 0,5 : √n ≤ 0,02 gelten, also n ≥ (25c)². Für 95 % (c = 1,96): n ≥ 2401. Für 99 % (c = 2,58): n ≥ 4160,25, also 4161. Die höhere Sicherheit kostet fast 75 % mehr Befragte — für eine Wahlumfrage sind rund 2400 Befragte ein üblicher Kompromiss.