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Übung — AFB II (Zusammenhänge herstellen)

Zehn Sachaufgaben von der Apfelernte bis zur Wahlumfrage — erst modellieren, dann rechnen.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben: Erst das Modell aufstellen, dann mit Rechner, σ-Regeln und Umgebungen arbeiten — vom Apfel bis zur Wahlumfrage.

A1
Äpfel sortieren
AFB II

Die Masse X von Äpfeln einer Sorte ist normalverteilt mit μ = 180 g und σ = 20 g.

a) Berechne den Anteil der Äpfel unter 150 g. b) Berechne den Anteil der Äpfel zwischen 170 g und 210 g (je vier Nachkommastellen).

Ansatz: X: Masse in g, X ~ N(180; 20²).
Rechenweg: a) Ncd Lower −1E99, Upper 150; b) Lower 170, Upper 210.
Lösung: a) 0,0668 b) 0,6247
Vollständige Lösung
a) P(X < 150) = normCdf(−∞; 150; 180; 20) ≈ 0,0668 — rund 6,7 % sind zu leicht. b) P(170 ≤ X ≤ 210) ≈ 0,9332 − 0,3085 = 0,6247.
A2
Füllmenge
AFB II

Eine Anlage füllt Flaschen mit μ = 1000 ml und σ = 5 ml.

a) Wie groß ist der Anteil der Flaschen mit weniger als 990 ml? b) Welche Füllmenge wird von 99 % der Flaschen mindestens erreicht (zwei Nachkommastellen)?

Ansatz: a) Fläche links von 990; b) 1 % liegen darunter.
Rechenweg: b) invNorm(0,01; 1000; 5).
Lösung: a) 0,0228 b) 988,37 ml
Vollständige Lösung
a) 990 liegt 2σ unter μ: P ≈ 0,0228. b) Gesucht ist x mit P(X ≤ x) = 0,01: x = invNorm(0,01; 1000; 5) ≈ 988,37 ml.
A3
Laplace-Bedingung prüfen
AFB II

Eine Bernoulli-Kette hat die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,1.

a) Berechne σ für n = 50 (vier Nachkommastellen). b) Bestimme das kleinste n, für das die Laplace-Bedingung σ > 3 erfüllt ist.

Ansatz: σ = √(n · 0,1 · 0,9) = √(0,09 · n).
Rechenweg: b) 0,09 · n > 9 ⇔ n > 100.
Lösung: a) 2,1213 b) 101
Vollständige Lösung
a) σ = √4,5 ≈ 2,1213 < 3 — Näherung ungeeignet. b) σ > 3 ⇔ 0,09 · n > 9 ⇔ n > 100, also n = 101.
A4
1000 Würfe
AFB II

Ein fairer Würfel wird 1000-mal geworfen; X zählt die Sechsen.

a) Nähere P(X ≤ 150) mit der Normalverteilung (mit Stetigkeitskorrektur). b) Berechne P(X ≤ 150) exakt mit der Binomialverteilung (je vier Nachkommastellen).

Ansatz: μ = 1000/6 ≈ 166,67, σ ≈ 11,79 > 3.
Rechenweg: a) normCdf(−∞; 150,5; 166,67; 11,79); b) binomCdf(1000; 1/6; 0; 150).
Lösung: a) 0,0851 b) 0,0837
Vollständige Lösung
μ ≈ 166,67, σ = √(1000 · 1/6 · 5/6) ≈ 11,785. a) Φ(150,5) ≈ 0,0851. b) exakt ≈ 0,0837 — die Näherung weicht nur um etwa 0,0014 ab.
A5
Umfrage in der Stadt
AFB II

In einer Stadt mit 50 000 Einwohnern besitzen 35 % ein Deutschlandticket. 200 Personen werden zufällig (ohne Wiederholung) befragt.

a) Wie viele Personen dürfte man nach der Faustregel höchstens befragen, damit das Binomialmodell passt? b) Berechne mit dem Binomialmodell P(X ≥ 80).

Ansatz: Faustregel: n ≤ 0,05 · N.
Rechenweg: b) 1 − P(X ≤ 79) mit n = 200, p = 0,35.
Lösung: a) 2500 b) 0,0805
Vollständige Lösung
a) 0,05 · 50 000 = 2500, 200 liegt weit darunter — das Binomialmodell ist angemessen. b) P(X ≥ 80) = 1 − binomCdf(200; 0,35; 0; 79) ≈ 0,0805.
A6
Überbuchte Flüge
AFB II

Erfahrungsgemäß erscheinen 8 % der Passagiere nicht zum Flug. Für einen Flug liegen 250 Buchungen vor; X zählt die Nichterscheinenden.

a) Gib die untere und b) die obere Grenze des ganzzahligen 95 %-Prognoseintervalls nach der σ-Regel an.

Ansatz: μ = 20, σ = √18,4 ≈ 4,29 > 3.
Rechenweg: 20 ± 1,96 · 4,29, dann nach innen runden.
Lösung: a) 12 b) 28
Vollständige Lösung
μ = 250 · 0,08 = 20, σ ≈ 4,29. 20 ± 8,41 ergibt [11,59; 28,41], ganzzahlig [12; 28]. Kontrolle: P(12 ≤ X ≤ 28) ≈ 0,954.
A7
Ausschussquote
AFB II

Ein Hersteller gibt eine Ausschussquote von 4 % an. Es werden 600 Teile geprüft.

a) Berechne die halbe Breite der 95 %-Umgebung für den Ausschussanteil. b) Gib die obere Grenze der Umgebung an (je vier Nachkommastellen).

Ansatz: σ > 3? n · p · (1 − p) = 23,04.
Rechenweg: 1,96 · √(0,04 · 0,96 : 600).
Lösung: a) 0,0157 b) 0,0557
Vollständige Lösung
σ = √23,04 = 4,8 > 3. a) 1,96 · √(0,0384 : 600) ≈ 0,0157. b) 0,04 + 0,0157 = 0,0557 — mehr als etwa 5,6 % Ausschuss wären auffällig.
A8
Vegetarier
AFB II

Ein Verband behauptet: 25 % der Studierenden ernähren sich vegetarisch. In einer Umfrage sind es 270 von 1200.

a) Berechne die untere Grenze der 95 %-Umgebung um 0,25. b) Gib den Stichprobenanteil h an (je vier Nachkommastellen).

Ansatz: Umgebung um das behauptete p bilden.
Rechenweg: a) 0,25 − 1,96 · √(0,25 · 0,75 : 1200).
Lösung: a) 0,2255 b) 0,2250
Vollständige Lösung
a) 1,96 · √(0,1875 : 1200) = 0,0245; Umgebung [0,2255; 0,2745]. b) h = 0,225 liegt knapp darunter: nicht verträglich — der Anteil ist vermutlich kleiner als 25 %.
A9
Konfidenzintervall
AFB II

In einer Umfrage geben 540 von 1200 Befragten an, regelmäßig Sport zu treiben.

Bestimme das 95 %-Konfidenzintervall für den Anteil p: a) untere Grenze, b) obere Grenze (je drei Nachkommastellen).

Ansatz: h = 0,45; Ungleichung |0,45 − p| ≤ 1,96 · √(p(1 − p) : 1200).
Rechenweg: CAS: solve(…, p) oder Schnittstellen im GTR.
Lösung: a) 0,422 b) 0,478
Vollständige Lösung
h = 540 : 1200 = 0,45. Lösen der Ungleichung liefert 0,4221 ≤ p ≤ 0,4783. Die Näherung 0,45 ± 1,96 · √(0,45 · 0,55 : 1200) = [0,422; 0,478] stimmt hier fast überein.
A10
Stichprobe planen
AFB II

Ein Institut möchte einen Anteil mit 95 % Sicherheit auf ± 3 Prozentpunkte genau schätzen.

a) Wie viele Personen braucht es mindestens, wenn über p nichts bekannt ist? b) Wie viele, wenn p ≈ 0,2 vermutet wird?

Ansatz: Halbe Breite 1,96 · √(p(1 − p) : n) ≤ 0,03.
Rechenweg: a) ungünstigster Fall p(1 − p) = 0,25.
Lösung: a) 1068 b) 683
Vollständige Lösung
a) n ≥ (1,96 · 0,5 : 0,03)² ≈ 1067,1, also 1068. b) n ≥ 1,96² · 0,16 : 0,03² ≈ 682,95, also 683.