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Übung — AFB I (Reproduzieren)

Zehn Grundaufgaben von der Standardabweichung bis zur Stetigkeitskorrektur — wer sie sicher löst, hat die ersten Punkte der Klausur schon.

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Aufgabenblock — AFB I

Zehn Standardaufgaben zum Reproduzieren: Kenngrößen, Flächen unter der Glocke, Grenzen und σ-Regeln. Das sind die sicheren Punkte in jeder Klausur.

A1
Streuung der Binomialverteilung
AFB I

X ist binomialverteilt mit n = 400 und p = 0,2. Berechne die Standardabweichung σ.

Formel: σ = √(n · p · (1 − p)).
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√(400 · 0,2 · 0,8) = √64 = 8
A2
Links von einer Grenze
AFB I

Die Körpergröße X (in cm) ist normalverteilt mit μ = 170 und σ = 8. Berechne P(X ≤ 180) auf vier Nachkommastellen.

Rechner: Ncd mit Lower −1E99, Upper 180, σ 8, μ 170.
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normCdf(−∞; 180; 170; 8) ≈ 0,8944
A3
Zwischen zwei Grenzen
AFB I

Wie oben: μ = 170, σ = 8. Berechne P(160 ≤ X ≤ 180).

Rechner: Ncd mit Lower 160 und Upper 180.
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normCdf(160; 180; 170; 8) ≈ 0,7887
A4
Rechts von einer Grenze
AFB I

Wie oben: μ = 170, σ = 8. Berechne P(X ≥ 186).

Gegenwahrscheinlichkeit: P(X ≥ 186) = 1 − P(X ≤ 186), oder Upper 1E99.
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186 liegt genau 2σ über μ: 1 − 0,9772 ≈ 0,0228
A5
Ein einzelner Wert
AFB I

Wie oben: Die Körpergröße ist stetig modelliert. Gib P(X = 175) an.

Stetig: Einzelne Werte haben keine Fläche.
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∫ von 175 bis 175 = 0
A6
Höhe der Glocke
AFB I

Berechne den Funktionswert der Dichte einer Normalverteilung mit σ = 2 an der Stelle x = μ (vier Nachkommastellen).

Hochpunkt: f(μ) = 1 : (σ · √(2π)).
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1 : (2 · √(2π)) ≈ 0,1995
A7
Grenze aus Wahrscheinlichkeit
AFB I

μ = 170, σ = 8. Bestimme die Körpergröße, die von 90 % der Personen nicht überschritten wird (zwei Nachkommastellen).

Rechner: InvN, Tail Left, Area 0.9 — bzw. invNorm(0.9; 170; 8).
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invNorm(0,9; 170; 8) ≈ 180,25 cm
A8
Untere Grenze der Prognose
AFB I

X ~ B(400; 0,5). Gib die untere Grenze des ganzzahligen 95 %-Prognoseintervalls nach der σ-Regel an.

σ-Regel: μ − 1,96 · σ, dann auf die nächste ganze Zahl im Intervall runden.
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μ = 200, σ = 10: 200 − 19,6 = 180,4 → 181
A9
Halbe Breite für Anteile
AFB I

p = 0,2 und n = 400. Berechne die halbe Breite der 95 %-Umgebung für den Anteil h.

Formel: 1,96 · √(p(1 − p) : n).
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1,96 · √(0,16 : 400) = 1,96 · 0,02 = 0,0392
A10
Näherung mit Korrektur
AFB I

X ~ B(100; 0,5). Nähere P(X ≤ 55) mit der Normalverteilung und Stetigkeitskorrektur.

Korrektur: P(X ≤ k) ≈ Φ(k + 0,5) mit μ = 50, σ = 5.
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Φ(55,5) mit μ = 50, σ = 5 ≈ 0,8643 (exakt ebenfalls 0,8644)