Wissen und Reproduzieren
16 PunkteDie Masse X eines Schokoriegels ist normalverteilt mit μ = 50 g und σ = 1,5 g.
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Erwartungshorizont: a) 1 − Φ(52) = normCdf(52; ∞; 50; 1,5) ≈ 0,0912 (2 P) b) normCdf(48; 51; 50; 1,5) ≈ 0,6563 (1 P) c) invNorm(0,05; 50; 1,5) ≈ 47,53 g (1 P).
X ist binomialverteilt mit n = 800 und p = 0,15.
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Erwartungshorizont: a) μ = 800 · 0,15 = 120 (1 P) b) σ = √(800 · 0,15 · 0,85) = √102 ≈ 10,10 (2 P) c) binomCdf(800; 0,15; 0; 110) ≈ 0,1738 (1 P).
Wartezeiten beim Arzt werden in Klassen erfasst: 15 % der Patienten warten 20 bis 30 Minuten, 9 % warten 30 bis 60 Minuten.
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Erwartungshorizont: Höhe = relative Häufigkeit : Klassenbreite. a) 0,15 : 10 = 0,015 pro min (2 P) b) 0,09 : 30 = 0,003 pro min (2 P) — die breite Klasse ist deutlich niedriger, obwohl sie im Säulendiagramm fast so hoch wäre.
Welche Zufallsgrößen sind stetig?
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Erwartungshorizont: Stetig: Länge (gemessen) und Ausfallzeit (gemessen). Diskret: Anzahl und Augensumme (gezählt). Je richtige Auswahl 2 P, je Fehlklick 2 P Abzug.
Zusammenhänge herstellen
22 PunkteIn einem Supermarkt zahlen 15 % der Kunden bar. An einem Vormittag kommen 800 Kunden; X zählt die Barzahler.
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Erwartungshorizont: μ = 120, σ ≈ 10,10 > 3. 120 ± 1,96 · 10,10 = [100,2; 139,8], ganzzahlig [101; 139] (je 2 P). c) P(101 ≤ X ≤ 139) ≈ 0,9467 (2 P) — knapp unter 95 %, die σ-Regel ist eine Näherung.
X ist binomialverteilt mit n = 200 und p = 0,25.
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Erwartungshorizont: a) σ = √37,5 ≈ 6,12 > 3 (1 P) b) Φ(40,5) mit μ = 50, σ ≈ 6,12: ≈ 0,0604 (2 P) c) binomCdf(200; 0,25; 0; 40) ≈ 0,0578 (2 P); die Näherung weicht am Rand um etwa 0,003 ab.
Ein Verkehrsverbund behauptet: 60 % der Pendler nutzen Bus und Bahn. In einer Befragung sind es 281 von 500.
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Erwartungshorizont: 0,6 ± 1,96 · √(0,24 : 500) = 0,6 ± 0,0429 ⇒ [0,5571; 0,6429] (2 P + 1 P). h = 281 : 500 = 0,562 liegt darin: verträglich — die Behauptung wird nicht widerlegt, aber auch nicht bewiesen (2 P).
Von 600 zufällig befragten Jugendlichen sind 312 Mitglied in einem Sportverein.
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Erwartungshorizont: h = 0,52. Lösen von |0,52 − p| ≤ 1,96 · √(p(1 − p) : 600) liefert 0,4800 ≤ p ≤ 0,5597 (je 3 P). Die Näherung 0,52 ± 0,040 ergibt fast dasselbe.
Verallgemeinern und beurteilen
12 PunkteEin Institut will den Anteil der Nichtwähler auf ± 2 Prozentpunkte genau angeben; über p ist nichts bekannt.
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Erwartungshorizont: Mit p(1 − p) ≤ 0,25: c · 0,5 : √n ≤ 0,02 ⇔ n ≥ (25c)². a) n ≥ 2401 (3 P) b) n ≥ 4160,25, also 4161 (3 P).
Eine Studie gibt für den Anteil der Rechtshänder das 95 %-Konfidenzintervall [0,86; 0,91] an.
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Erwartungshorizont: Richtig: Die Grenzen sind zufällig (1), γ ist eine relative Häufigkeit über viele Stichproben (2), höhere Sicherheit macht das Intervall breiter (4). Falsch: „sicher“ (3) und „viermal so schmal“ (5) — vierfacher Umfang halbiert die Breite. Je richtige Auswahl 2 P, je Fehlklick 2 P Abzug.
Ergebnis
| Aufgabe | Thema | Punkte |
|---|
Notenschema
| Punkte | Note | Beurteilung |
|---|---|---|
| 46 – 50 P | 1 | sehr gut |
| 40 – 45 P | 2 | gut |
| 30 – 39 P | 3 | befriedigend |
| 22 – 29 P | 4 | ausreichend |
| 12 – 21 P | 5 | mangelhaft |
| 0 – 11 P | 6 | ungenügend |