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Übungen: Konfidenzintervalle für p

Von der Stichprobe zurück auf den wahren Anteil — zehn Übungen dazu, welche p zu einem Ergebnis passen.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen von AFB I bis AFB III: Prognose und Konfidenz unterscheiden, Konfidenzintervalle berechnen und beurteilen. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen die gestuften Tipps.

A1
Prognose oder Konfidenz?
AFB I

Ordnen Sie jede Fragestellung dem passenden Intervall zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Prognoseintervall
2Konfidenzintervall
Unterscheidungsmerkmal: Ist p gegeben, wird prognostiziert; ist nur die Stichprobe gegeben, wird auf p geschlossen.
Ansatz: Was ist bekannt: p oder h?
Weiter: Gesucht ist entweder ein Bereich für die Anzahl oder ein Bereich für p.
A2
Blitzrechnung: Näherungsintervall
AFB I

In einer Stichprobe vom Umfang 600 ist \(h=0{,}4\). Berechnen Sie die halbe Breite des 95 %-Konfidenzintervalls nach der Näherungsformel (vier Nachkommastellen).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(1{,}96\sqrt{\tfrac{0{,}4\cdot0{,}6}{600}}=1{,}96\cdot0{,}02=0{,}0392\). Das Intervall ist \([0{,}361;\,0{,}439]\).
Ansatz: In der Näherung ersetzt h das unbekannte p unter der Wurzel.
Weiter: \(0{,}24:600=0{,}0004\).
A3
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Geben Sie an, ob die Aussagen zu Konfidenzintervallen stimmen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merksatz: Prognose schließt von p auf h, Konfidenz von h auf p — mit derselben Ungleichung.
Ansatz: Was ist gegeben, was gesucht?
Weiter: Wie entsteht das Intervall aus der Ungleichung?
A4
Rechenkette: Fahrradfahrer
AFB II

Von 300 befragten Schülerinnen und Schülern kommen 96 mit dem Fahrrad. Ermitteln Sie das 95 %-Konfidenzintervall (drei Nachkommastellen).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. \(h\)
  2. Näherung: halbe Breite
  3. Näherung: untere Grenze
  4. exakt (CAS solve): untere Grenze
Exakt: \([0{,}270;\,0{,}375]\), Näherung: \([0{,}267;\,0{,}373]\). Das exakte Intervall ist leicht Richtung 0,5 verschoben.
Ansatz: \(h=96:300\); halbe Breite \(1{,}96\sqrt{h(1-h):n}\).
Weiter: solve(abs(0.32−p) ≤ 1.96·√(p·(1−p)/300), p).
A5
Exakt rechnen
AFB II

Stellen Sie die Schritte der exakten Berechnung eines Konfidenzintervalls in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1\(h\) aus der Stichprobe berechnen
2Ungleichung \(|h-p|\le1{,}96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\) aufstellen
3Beide Seiten quadrieren
4Quadratische Ungleichung in p lösen (CAS oder Lösungsformel)
5Intervall \([p_1;\,p_2]\) angeben und deuten
Häufig wird vergessen, dass p unter der Wurzel steht — dann rechnet man versehentlich mit der Näherung.
Ansatz: Vom Datum zur Ungleichung, von der Ungleichung zur Lösung.
Weiter: Quadrieren beseitigt Betrag und Wurzel.
A6
Stichprobe und Näherungsintervall
AFB II

Ordnen Sie jeder Stichprobe ihr 95 %-Konfidenzintervall (Näherung) zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Trick: Die Mitte jedes Intervalls ist h — damit ist die Zuordnung fast ohne Rechnen möglich.
Ansatz: Suche zuerst die Mitte.
Weiter: Die Breite prüft man anschließend grob mit \(\tfrac1{\sqrt n}\).
A7
Fehlersuche: Konfidenzintervall
AFB II

Überprüfen Sie die Lösung zu „210 von 500 Befragten“ — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Am häufigsten: die Rollen von h und p vertauscht. Im Konfidenzintervall ist p die Unbekannte.
Ansatz: Prüfe, welche Größe unbekannt ist.
Weiter: Faktor und Sicherheit zuordnen.
A8
Konfidenzintervalle beurteilen
AFB III

Beurteilen Sie die Aussagen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Bei h = 0 liefert die Näherung ein Intervall der Breite 0 — offensichtlich unsinnig. Das exakte Intervall bleibt immer in [0; 1].
Ansatz: Was passiert in der Näherung, wenn h = 0 ist?
Weiter: Wie hängt \(h(1-h)\) von h ab?
A9
Trickaufgabe: keiner von hundert
AFB III

Bei 100 Befragten sagt niemand „ja“ (\(h=0\)). Bestimmen Sie die obere Grenze des exakten 95 %-Konfidenzintervalls (drei Nachkommastellen).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Für \(h=0\): \(p\le1{,}96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{100}}\iff p\le\tfrac{1{,}96^2}{100+1{,}96^2}\approx0{,}037\). Die Näherung ergäbe \([0;\,0]\) — als ob p sicher 0 wäre.
Ansatz: Setze \(h=0\) in die Ungleichung ein und quadriere.
Weiter: \(p^2\le\tfrac{3{,}8416}{100}\,p(1-p)\) nach p lösen.
A10
Wie ändert sich die Breite?
AFB III

Ausgangspunkt: 95 %-Konfidenzintervall für \(h=0{,}3,\ n=400\). Schätzen Sie die Änderung der Breite ab.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = halb so breit, 2 = etwas schmaler, 3 = gleich, 4 = etwas breiter, 5 = doppelt so breit. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = halb so breit5 = doppelt so breit
n = 1600
Sicherheit 90 %
h = 0,7
Sicherheit 99 %
n = 100
Breite \(\approx2c\sqrt{h(1-h)/n}\): n über die Wurzel, die Sicherheit über c, h und 1 − h symmetrisch.
Ansatz: Welcher Teil der Formel ändert sich?
Weiter: \(\sqrt4=2\).