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Abituraufgaben: Konfidenzintervalle für p

Radfahrer an der Schule und fehlerhafte Schrauben — vom Stichprobenergebnis zurück auf den unbekannten Anteil.

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Mit dem Rad zur Schule

AFB I–II

Die Schülervertretung einer großen Gesamtschule befragt 300 zufällig ausgewählte Schülerinnen und Schüler. 96 von ihnen kommen regelmäßig mit dem Fahrrad zur Schule. Gesucht ist der Anteil \(p\) der Radfahrer an der ganzen Schule.

Konfidenzintervalle für den Fahrradanteil
Näherungexakt0,220,260,300,340,380,42h = 0,32Anteil p
95 %-Konfidenzintervalle, \(n=300\).
  1. Geben Sie den Stichprobenanteil an.
  2. Berechnen Sie das 95 %-Konfidenzintervall mit der Näherungsformel.
  3. Bestimmen Sie das exakte Konfidenzintervall mit dem CAS.
  4. Erläutern Sie, was das Intervall über den Radfahreranteil der Schule aussagt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Anzahl durch n.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(h\pm1{,}96\sqrt{h(1-h):n}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
solve mit Betrag und Wurzel.
Hinweis zu Aufgabe d)
Verfahren und Einzelergebnis unterscheiden.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(h=\tfrac{96}{300}=0{,}32\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(0{,}32\pm1{,}96\sqrt{\tfrac{0{,}32\cdot0{,}68}{300}}=0{,}32\pm0{,}053\Rightarrow[0{,}267;\,0{,}373]\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

solve(abs(0.32−p) ≤ 1.96·√(p·(1−p)/300), p) liefert \(0{,}2698\le p\le0{,}3748\), also etwa \([0{,}270;\,0{,}375]\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Alle Anteile zwischen etwa 27 % und 37,5 % sind mit dem Ergebnis verträglich. Das Verfahren liefert in etwa 95 % aller Stichproben ein Intervall, das den wahren Anteil enthält; ob dieses Intervall dazugehört, weiß man nicht.

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Wie viel Ausschuss produziert die Maschine?

AFB II–III

Ein Hersteller gibt an, dass höchstens 2 % seiner Schrauben fehlerhaft sind. Ein Kunde prüft 800 zufällig entnommene Schrauben und findet 24 fehlerhafte.

Ausschussquote
NäherungexaktHerstellerangabe ≤ 2 %0,000,010,020,030,040,05h = 0,03Ausschussanteil p
Konfidenzintervalle bei 24 fehlerhaften von 800 Schrauben.
  1. Ermitteln Sie das exakte 95 %-Konfidenzintervall für die Ausschussquote.
  2. Vergleichen Sie das exakte Intervall mit dem Näherungsintervall.
  3. Nehmen Sie Stellung zur Herstellerangabe.
  4. Planen Sie eine Folgeuntersuchung, die die Ausschussquote auf ± 1 Prozentpunkt genau schätzt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Ungleichung mit \(h=0{,}03\), \(n=800\) lösen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Näherung mit h unter der Wurzel.
Hinweis zu Aufgabe c)
Liegt 0,02 im Konfidenzintervall?Unterschied zwischen exaktem Ergebnis und Näherung berücksichtigen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Halbe Breite \(1{,}96\sqrt{p(1-p)/n}\le0{,}01\) mit \(p\approx0{,}03\).Umfang, Auswahl und Auswertung angeben.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(|0{,}03-p|\le1{,}96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{800}}\) ergibt \(0{,}0202\le p\le0{,}0443\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Näherung: \(0{,}03\pm0{,}0118=[0{,}0182;\,0{,}0418]\). Das exakte Intervall ist deutlich nach rechts verschoben, weil h nahe 0 liegt und die Verteilung dort schief ist. Für kleine Anteile ist die Näherung ungenau.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Das exakte Intervall beginnt knapp über 0,02 — eine Quote von höchstens 2 % ist mit dem Ergebnis also gerade nicht mehr verträglich; die Näherung würde (fälschlich) noch 2 % zulassen. Der Kunde hat einen begründeten Verdacht, sollte aber wegen des knappen Ergebnisses eine weitere Stichprobe verlangen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Mit \(p\approx0{,}03\): \(n\ge\tfrac{1{,}96^2\cdot0{,}0291}{0{,}0001}\approx1118\). Sicherheitshalber etwa 1200 Schrauben aus verschiedenen Produktionszeiten zufällig entnehmen, Ausschuss zählen und das exakte Konfidenzintervall berechnen; liegt es ganz über 0,02, ist die Herstellerangabe widerlegt.