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Übung — AFB II (Zusammenhänge herstellen)

Zehn Aufgaben von der symmetrischen Kurve bis zur Ortskurve — erst übersetzen, dann rechnen, dann deuten.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Aufgaben aus dem ganzen Kapitel: Bedingungen aufstellen, LGS von Hand oder mit dem GTR lösen, Nahtstellen und Scharen untersuchen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

A1
Symmetrischer Steckbrief
AFB II

Der Graph einer Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse bei 2 und hat den Tiefpunkt T(1 | 0). Stelle die Bedingungen auf. a) Gib a an. b) Berechne f(2).

Ansatz: Symmetrie verkleinert den Ansatz: f(x) = ax⁴ + bx² + c; f(0) = 2, f(1) = 0, f′(1) = 0.
Rechenweg: c = 2; a + b = −2; 4a + 2b = 0 → b = −2a → −a = −2.
Lösung: a) 2 b) 18
Vollständige Lösung
c = 2, I: a + b + 2 = 0, II: f′(1) = 4a + 2b = 0 → b = −2a; in I: a − 2a = −2 → a = 2, b = −4. f(x) = 2x⁴ − 4x² + 2, f(2) = 32 − 16 + 2 = 18. Hinweis: Die Symmetrie ist keine eigene Gleichung — sie streicht x³ und x aus dem Ansatz.
A2
Punktsymmetrisch mit Hochpunkt
AFB II

Eine Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat den Hochpunkt H(−1 | 2). a) Bestimme a in f(x) = ax³ + cx. b) Berechne f(2).

Ansatz: f(x) = ax³ + cx, zwei Bedingungen: f(−1) = 2, f′(−1) = 0.
Rechenweg: −a − c = 2; 3a + c = 0 → c = −3a → 2a = 2.
Lösung: a) 1 b) 2
Vollständige Lösung
f(−1) = −a − c = 2 und f′(−1) = 3a + c = 0. Addieren: 2a = 2 → a = 1, c = −3. f(x) = x³ − 3x, f(2) = 8 − 6 = 2. Wegen der Symmetrie liegt bei (1 | −2) der Tiefpunkt.
A3
Gauß mit drei Punkten
AFB II

Die Parabel f(x) = ax² + bx + c geht durch (−1 | 6), (1 | 2) und (2 | 3). Löse das LGS mit dem Gauß-Verfahren. a) a = ? b) c = ?

Ansatz: I: a − b + c = 6, II: a + b + c = 2, III: 4a + 2b + c = 3.
Rechenweg: II − I: 2b = −4 → b = −2; dann I: a + c = 4, III: 4a + c = 7.
Lösung: a) 1 b) 3
Vollständige Lösung
II − I: 2b = −4 → b = −2. I wird a + c = 4, III wird 4a + c = 7; Subtraktion: 3a = 3 → a = 1, c = 3. f(x) = x² − 2x + 3. Probe: f(2) = 4 − 4 + 3 = 3 ✓
A4
Zu wenige Bedingungen
AFB II

Gesucht ist f(x) = ax³ + bx² + cx + d mit f(0) = 0 und Wendepunkt W(1 | 2). Das LGS hat unendlich viele Lösungen. a) Bestimme c für a = 1. b) Berechne dann f(2).

Ansatz: d = 0; f(1) = a + b + c = 2; f″(1) = 6a + 2b = 0.
Rechenweg: b = −3a, c = 2 − a − b = 2 + 2a; mit a = 1: b = −3, c = 4.
Lösung: a) 4 b) 4
Vollständige Lösung
Drei Bedingungen für vier Unbekannte: Eine Unbekannte bleibt frei (Parameter). b = −3a, c = 2 + 2a. Für a = 1: f(x) = x³ − 3x² + 4x, f(2) = 8 − 12 + 8 = 4. Mit dem CAS liefert linSolve die Lösung mit einem Parameter c1.
A5
Quadratische Regression
AFB II

Messwerte: x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 und y = 1,2 · 2,9 · 4,1 · 4,8 · 5,1 · 4,9. Führe mit dem GTR eine quadratische Regression durch. a) Gib a auf drei Nachkommastellen an. b) Prognostiziere f(6) (zwei Nachkommastellen).

Ansatz: MENU › Statistik, x in List 1, y in List 2.
Rechenweg: F2 (CALC) › F3 (REG) › F3 (X²); Ergebnis y = ax² + bx + c.
Lösung: a) −0,234 b) 4,23
Vollständige Lösung
GTR: a ≈ −0,2339, b ≈ 1,9068, c ≈ 1,2107, r² ≈ 0,9999. f(6) ≈ −0,2339 · 36 + 1,9068 · 6 + 1,2107 ≈ 4,23. Die Prognose liegt knapp außerhalb des Messbereichs — sie ist plausibel, weiter draußen aber unsicher.
A6
Stetig und differenzierbar
AFB II

f(x) = ax² + b für x ≤ 2 und f(x) = 4x − 1 für x > 2. Bestimme a und b so, dass f bei x = 2 differenzierbar ist.

Ansatz: Zwei Bedingungen: gleiche Werte und gleiche Steigung bei x = 2.
Rechenweg: 4a + b = 7; 2a · 2 = 4.
Lösung: a) 1 b) 3
Vollständige Lösung
Stetig: 4a + b = 4 · 2 − 1 = 7. Gleiche Steigung: (ax² + b)′ = 2ax, an der Stelle 2: 4a = 4 → a = 1, damit b = 3. f(x) = x² + 3 geht bei x = 2 glatt in die Tangente y = 4x − 1 über.
A7
Übergang zwischen zwei Straßen
AFB II

Eine Straße verläuft auf der x-Achse bis A(0 | 0), eine zweite ab B(2 | 1) mit der Steigung 1 (1 LE = 100 m). Gesucht ist ein knickfreier Übergang f(x) = ax³ + bx² + cx + d auf [0; 2]. a) Bestimme b. b) Berechne f″(0).

Ansatz: f(0) = 0, f′(0) = 0, f(2) = 1, f′(2) = 1.
Rechenweg: d = c = 0; 8a + 4b = 1; 12a + 4b = 1 → a = 0.
Lösung: a) 0,25 b) 0,5
Vollständige Lösung
d = 0, c = 0; 8a + 4b = 1 und 12a + 4b = 1 → 4a = 0, a = 0, b = 0,25. Der Übergang ist die Parabel f(x) = 0,25x². f″(x) = 0,5 ≠ 0 bei x = 0: knickfrei, aber nicht krümmungsruckfrei — an der Nahtstelle springt die Krümmung von 0 auf 0,5.
A8
Tiefpunkt in gewünschter Tiefe
AFB II

fk(x) = x³ − 3kx (k > 0) hat den Tiefpunkt Tk(√k | −2k√k). a) Für welches k liegt T auf der Höhe −54? b) Gib dann xT an.

Ansatz: −2k√k = −54.
Rechenweg: k√k = 27 → k^(3/2) = 27 → k = 27^(2/3).
Lösung: a) 9 b) 3
Vollständige Lösung
k · √k = 27 bedeutet k3/2 = 27, also k = 272/3 = 9. Dann xT = √9 = 3, T(3 | −54). Probe: f₉(3) = 27 − 81 = −54 ✓
A9
Hochpunkt auf Höhe 0,5
AFB II

fk(x) = x · e−kx, k > 0. a) Für welches k liegt der Hochpunkt auf der Höhe 0,5 (drei Nachkommastellen)? b) Gib die x-Koordinate dieses Hochpunkts an (drei Nachkommastellen).

Ansatz: Hk(1/k | 1/(k·e)), also 1/(k·e) = 0,5.
Rechenweg: k · e = 2 → k = 2/e.
Lösung: a) 0,736 b) 1,359
Vollständige Lösung
1/(k·e) = 0,5 ⇔ k = 2/e ≈ 0,736. xH = 1/k = e/2 ≈ 1,359.
A10
Ortskurve einer Parabelschar
AFB II

fk(x) = x² − 2kx + 3k hat den Scheitel Sk(k | −k² + 3k). a) Berechne den y-Wert der Ortskurve der Scheitel an der Stelle x = 1. b) Welches k liefert den höchsten Scheitel?

Ansatz: x = k, y = −k² + 3k.
Rechenweg: k = x einsetzen: Ortskurve y = −x² + 3x; ihr Scheitel liegt bei x = 1,5.
Lösung: a) 2 b) 1,5
Vollständige Lösung
Mit k = x wird y = −x² + 3x die Ortskurve der Scheitel. y(1) = −1 + 3 = 2. Die Ortskurve ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitel bei x = 1,5 — dort liegt der höchste Scheitel S(1,5 | 2,25), also k = 1,5.