Typische Fehler — was oft schiefgeht

So wird oft gerechnet: f(x) = x⁴ − x → f(−x) = −x⁴ + x, also „punktsymmetrisch“.

Richtig ist: f(−x) = (−x)⁴ − (−x) = x⁴ + x — weder f(x) noch −f(x): keine der beiden Symmetrien.

−x immer in Klammern einsetzen.

So wird oft gerechnet: f(x) = x³ − 4x + 1 → „nur ungerade Exponenten, punktsymmetrisch“.

Richtig ist: Die 1 gehört zu x⁰, einem geraden Exponenten. Der Graph ist nur zu (0 | 1) symmetrisch, nicht zum Ursprung.

Konstante = gerader Exponent.

So wird oft gerechnet: f(2) = f(−2) berechnet → „achsensymmetrisch“.

Richtig ist: Ein Zahlenpaar kann zufällig passen. Der Nachweis läuft allgemein: f(−x) = f(x) für alle x.

Zahlen widerlegen, Terme beweisen.

So wird oft gerechnet: H(3 | 7) → nur f′(3) = 0 notiert.

Richtig ist: H(3 | 7) liefert f(3) = 7 und f′(3) = 0.

Extrempunkt mit Koordinaten = zwei Gleichungen.

So wird oft gerechnet: W(1 | 2) → f(1) = 2 und f′(1) = 0.

Richtig ist: Am Wendepunkt gilt f″(1) = 0; f′(1) = 0 nur beim Sattelpunkt.

Wendepunkt → f″, waagerecht → f′.

So wird oft gerechnet: II − 2 · I: nur links umgeformt, rechts die alte Zahl stehen gelassen.

Richtig ist: Die ganze Gleichung wird umgeformt: (2a + 3b = 1) − 2 · (a + b = 2) ergibt b = −3.

Jede Umformung gilt auch rechts vom Gleichheitszeichen.

So wird oft gerechnet: f(x) = x² für x < 2, 3x für x ≥ 2 → f(2) = 4.

Richtig ist: Für x = 2 gilt der rechte Term: f(2) = 6. Der linke liefert nur den linksseitigen Grenzwert 4.

≤ und ≥ entscheiden, welcher Term in x₀ gilt.

So wird oft gerechnet: g′(1) = h′(1) = 2 → „differenzierbar“, obwohl g(1) = 1 und h(1) = 3.

Richtig ist: Erst Stetigkeit prüfen: Bei einem Sprung ist f nicht stetig und damit auch nicht differenzierbar.

Differenzierbar = stetig + gleiche Steigung.

So wird oft gerechnet: f_k(x) = x³ − 3kx → f_k′(x) = −3x.

Richtig ist: Abgeleitet wird nach x; k ist eine Zahl: f_k′(x) = 3x² − 3k.

Der Parameter bleibt beim Ableiten stehen.

So wird oft gerechnet: (x · e^−kx)′ = e^−kx + x · e^−kx.

Richtig ist: (e^−kx)′ = −k · e^−kx, also f_k′(x) = (1 − kx) · e^−kx.

Innere Ableitung −k nicht vergessen.

So wird oft gerechnet: Gemeinsame Punkte von f_k(x) = x³ + k(x² − x): f_k(x) = 0 gesetzt.

Richtig ist: Gleichsetzen zweier Scharkurven: f_a(x) = f_b(x) → (a − b)(x² − x) = 0 → (0 | 0), (1 | 1).

Gemeinsam heißt: f_a = f_b, nicht f_k = 0.

So wird oft gerechnet: Ortskurve der Tiefpunkte: y = −2k√k.

Richtig ist: k eliminieren: x = √k → k = x², also y = −2x³ für x > 0.

In der Ortskurve kommt kein k mehr vor.