MINT lernen

Trassierung

Radweg und Gleisbogen: Wie baut man Übergänge, die man beim Fahren nicht spürt?

Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
1

Der Radweg

AFB I–II

Ein Radweg verläuft für x ≤ 0 auf der Geraden y = 0,5x, für x ≥ 4 waagerecht auf der Höhe 2 (1 LE = 10 m). Dazwischen soll ein knickfreier Übergang f(x) = ax³ + bx² + cx + d gebaut werden.

  1. Stelle die vier Bedingungen auf.
  2. Bestimme den Funktionsterm.
  3. Ermittle die steilste Stelle des Übergangs und den Steigungswinkel dort.
  4. Überprüfe, ob der Übergang bei x = 0 krümmungsruckfrei ist.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Werte und Steigungen der beiden Wegstücke an den Nahtstellen.
Hinweis zu Aufgabe b)
d und c folgen sofort.
Hinweis zu Aufgabe c)
Wendestelle: f″(x) = 0.
Hinweis zu Aufgabe d)
f″(0) mit der Krümmung der Geraden vergleichen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

f(0) = 0, f′(0) = 0,5, f(4) = 2, f′(4) = 0.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

d = 0, c = 0,5; 64a + 16b = 0 und 48a + 8b = −0,5 → b = −4a, 16a = −0,5 → a = −0,03125, b = 0,125. f(x) = −0,03125x³ + 0,125x² + 0,5x.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

f″(x) = −0,1875x + 0,25 = 0 → x = 4/3; f′(4/3) = 2/3. Winkel tan⁻¹(2/3) ≈ 33,7°, also nach etwa 13 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

f″(0) = 0,25, die Gerade hat Krümmung 0: knickfrei, aber nicht krümmungsruckfrei.

2

Ein Gleisbogen fünften Grades

AFB II–III

Zwei parallele Gleise (y = 0 für x ≤ 0 und y = 1 für x ≥ 2) werden durch f(x) = 0,1875x⁵ − 0,9375x⁴ + 1,25x³ für 0 ≤ x ≤ 2 verbunden.

  1. Gib die Bedingungen für einen krümmungsruckfreien Übergang an.
  2. Weise nach, dass f diese Bedingungen erfüllt.
  3. Berechne die größte Steigung des Übergangs.
  4. Vergleiche mit dem knickfreien Bogen g(x) = −0,25x³ + 0,75x² und beurteile beide Lösungen.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Je Ende: Wert, Steigung, Krümmung.
Hinweis zu Aufgabe b)
f′ und f″ bilden und bei 0 und 2 einsetzen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Wendestelle aus Symmetriegründen bei x = 1.
Hinweis zu Aufgabe d)
g′(1) berechnen; was ist im Bahnbetrieb wichtiger?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

f(0) = 0, f′(0) = 0, f″(0) = 0, f(2) = 1, f′(2) = 0, f″(2) = 0.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

f′(x) = 0,9375x⁴ − 3,75x³ + 3,75x², f″(x) = 3,75x³ − 11,25x² + 7,5x. Bei 0 alles 0; f(2) = 6 − 15 + 10 = 1, f′(2) = 15 − 30 + 15 = 0, f″(2) = 30 − 45 + 15 = 0.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

f″(1) = 3,75 − 11,25 + 7,5 = 0; f′(1) = 0,9375 als größte Steigung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

g′(1) = 0,75: Der Grad-3-Bogen ist flacher, hat aber an den Enden die Krümmung g″(0) = 1,5 — einen deutlichen Ruck. Der Grad-5-Bogen ist in der Mitte etwas steiler, schließt aber ruckfrei an; für Züge ist er die bessere Wahl.