Trassierung

Eine Trasse setzt sich aus Stücken zusammen: links der Graph von \(g\), rechts der von \(h\). Entscheidend ist die Nahtstelle \(x_0\).

• Sprungfrei:gleiche Funktionswerte, \(g(x_0)=h(x_0)\) — die Stücke hängen zusammen.
• Knickfrei:zusätzlich gleiche Steigung, \(g'(x_0)=h'(x_0)\) — die Fahrtrichtung springt nicht.
• Knick:Die Fahrtrichtung ändert sich schlagartig — ein Fahrzeug müsste an dieser Stelle ruckartig lenken.
• Fachbegriffe:sprungfrei heißt stetig (5.2.1), knickfrei heißt differenzierbar (5.2.2).
• Krümmungsruckfrei:Für Bahnstrecken zusätzlich gleiche Krümmung, \(g''(x_0)=h''(x_0)\) — sonst reißt es am Lenkrad bzw. im Wagen.

Wähle ein Übergangsstück zwischen den beiden geraden Straßen und lass das Auto fahren (▶) — oder ziehe es entlang der Straße (Pfeiltasten, mit Umschalt feiner). Unten wird die Fahrtrichtung als Steigung mitgeschrieben.

Halte fest: An einem Knick springt die Steigungskurve — die Fahrtrichtung ändert sich schlagartig. Nur das Übergangsstück vom Grad 3 schließt an beiden Nahtstellen mit gleicher Steigung an.

Zwei parallele Straßen sollen knickfrei verbunden werden (1 LE = 100 m): links die \(x\)-Achse bis \({A(0\mid 0)}\), rechts die Gerade \(y=1\) ab \({B(2\mid 1)}\).

• Bedingungen:je Ende Punkt und Steigung → vier Bedingungen → Grad 3.
• Ansatz:\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).

• Krümmung prüfen:\(f''(x)=-1{,}5x+1{,}5\): \(f''(0)=1{,}5\neq 0\) — der Übergang ist knickfrei, aber nicht krümmungsruckfrei.
• Krümmungsruckfrei:je Ende noch \(f''=0\) → sechs Bedingungen → Ansatz vom Grad 5.