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Globale Eigenschaften

Zehn Übungen zu Symmetrie, Verhalten im Unendlichen und Periodizität — erst am Term entscheiden, dann prüfen.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; die Erklärung nach dem Prüfen zeigt, wo der typische Fehler liegt.

A1
Punktsymmetrisch zum Ursprung?
AFB I

Welche Funktionen haben einen zum Ursprung punktsymmetrischen Graphen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
m(x) = x³ − 1 enthält das Absolutglied −1 (Exponent 0, gerade) — sein Graph ist nur zu (0 | −1) symmetrisch. n(x) = x² · x = x³ ist dagegen punktsymmetrisch.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen über Symmetrie.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Ein einzelnes Zahlenbeispiel kann eine Symmetrie widerlegen, aber nie beweisen.
A3
Lückentext: Globalverhalten
AFB I

Setze die Begriffe ein — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Für |x| → ∞ bestimmt der mit dem höchsten Exponenten den Verlauf. Ist der Grad , zeigen beide Enden in dieselbe Richtung. Bei ungeradem Grad verlaufen die Enden . Ein negativer spiegelt diesen Verlauf an der x-Achse. Nähert sich der Graph einer Geraden beliebig an, heißt sie .

„Periode“ bleibt übrig — sie beschreibt Wiederholung, nicht das Verhalten im Unendlichen.
A4
Symmetrie sortieren
AFB I

Sortiere die Funktionen nach der Symmetrie ihres Graphen.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1achsensymmetrisch zur y-Achse
2punktsymmetrisch zum Ursprung
3keine der beiden
(x − 1)² ist achsensymmetrisch — aber zur Geraden x = 1, nicht zur y-Achse. Auch sin und cos lassen sich mit f(−x) prüfen: sin(−x) = −sin(x), cos(−x) = cos(x).
A5
Periode ablesen
AFB I

Welche Periode hat f(x) = sin(πx)?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
p = 2π/b = 2π/π = 2. Nach zwei Einheiten wiederholt sich der Graph.
A6
Nachweis in Schritten
AFB II

Bringe den Nachweis der Symmetrie für f(x) = x⁴ − 3x² in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1−x einsetzen: f(−x) = (−x)⁴ − 3 · (−x)²
2Potenzen auswerten: (−x)⁴ = x⁴ und (−x)² = x²
3Zusammenfassen: f(−x) = x⁴ − 3x²
4Vergleichen: f(−x) = f(x) für alle x
5Folgern: Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse
Der Vergleich mit f(x) kommt erst ganz am Schluss — vorher muss f(−x) vollständig vereinfacht sein.
A7
Rechenkette: Symmetrie nutzen
AFB II

Gegeben ist f(x) = x⁴ − 5x² + 4.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. f(3)
  2. f(−3) — nutze die Symmetrie
  3. Positive Stelle mit f(x) = 4 (zwei Nachkommastellen)
  4. Die zugehörige negative Stelle
x⁴ − 5x² = 0 ⇔ x²(x² − 5) = 0 → x = 0 oder x = ±√5 ≈ ±2,24. Wegen der Achsensymmetrie gehören positive und negative Lösung immer zusammen.
A8
Term und Globalverlauf
AFB II

Ordne jedem Term das Verhalten für |x| → ∞ zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Nur der Summand mit dem höchsten Exponenten zählt — auch −100x⁴ verliert gegen x⁵, wenn x groß genug wird.
A9
Fehlersuche: Globale Eigenschaften
AFB II

Sechs Aussagen aus einem Heft — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Ein gerader Grad reicht für Achsensymmetrie nicht — alle Exponenten müssen gerade sein.
A10
Symmetrie ohne Polynom
AFB III

Auch bei anderen Funktionen hilft f(−x). Schätze für jede Funktion die Symmetrie ein.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = achsensymmetrisch zur y-Achse, 2 = punktsymmetrisch zum Ursprung, 3 = keine der beiden. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = achsensymmetrisch zur y-Achse3 = keine der beiden
f(x) = x · sin(x)
f(x) = x² · sin(x)
f(x) = e^(x²)
f(x) = eˣ
f(x) = x³ · cos(x)
Produkte verhalten sich wie Vorzeichen: ungerade · ungerade = gerade (x · sin x), gerade · ungerade = ungerade (x² · sin x). eˣ ist weder das eine noch das andere.