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Globale Eigenschaften

Minigolf, Ebbe und Flut: Wo Symmetrie Rechenarbeit spart und wo nur ein periodisches Modell trägt.

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Die Minigolf-Bahn

AFB I–II

Das Profil einer Minigolf-Bahn mit zwei Mulden wird für −6 ≤ x ≤ 6 beschrieben durch f(x) = 0,01x⁴ − 0,5x² + 6,25 (x und f(x) in dm).

  1. Weise nach, dass das Profil achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
  2. Gib das Verhalten von f für |x| → ∞ an.
  3. Berechne die Extrempunkte des Profils.
  4. Begründe, warum man wegen der Symmetrie nur eine der beiden Mulden untersuchen muss.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Setze −x ein und vereinfache.
Hinweis zu Aufgabe b)
Leitterm 0,01x⁴.
Hinweis zu Aufgabe c)
f′(x) = 0,04x³ − x; x ausklammern.
Hinweis zu Aufgabe d)
Wie hängen die Punkte (x | f(x)) und (−x | f(x)) zusammen?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

f(−x) = 0,01(−x)⁴ − 0,5(−x)² + 6,25 = 0,01x⁴ − 0,5x² + 6,25 = f(x) für alle x — achsensymmetrisch. Alternativ: nur gerade Exponenten.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Leitkoeffizient 0,01 > 0, gerader Grad: f(x) → +∞ für x → ±∞.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

f′(x) = x(0,04x² − 1) = 0 → x = 0 oder x = ±5. f(0) = 6,25, f(±5) = 6,25 − 12,5 + 6,25 = 0. f″(x) = 0,12x² − 1: f″(0) = −1 < 0 → H(0 | 6,25); f″(±5) = 2 > 0 → T₁(−5 | 0), T₂(5 | 0).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Mit (x | f(x)) liegt auch (−x | f(x)) auf dem Graphen. Die linke Mulde ist das Spiegelbild der rechten — Lage und Tiefe folgen ohne neue Rechnung.

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Ebbe und Flut

AFB II–III

Der Wasserstand in einem Hafen wird durch h(t) = 1,8 · sin(π/6,2 · t) + 3 modelliert (t in Stunden nach Messbeginn, h in m).

  1. Gib die Periode und den höchsten und niedrigsten Wasserstand an.
  2. Bestimme mit dem GTR die Zeitpunkte in der ersten Periode, zu denen der Wasserstand 4 m beträgt.
  3. Interpretiere die Periode im Sachzusammenhang.
  4. Beurteile, ob eine ganzrationale Funktion die Gezeiten über mehrere Tage beschreiben könnte.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
p = 2π/b; sin schwankt zwischen −1 und 1.
Hinweis zu Aufgabe b)
Graph › G-Solv › X-CAL mit y = 4 oder Schnitt mit y = 4.
Hinweis zu Aufgabe c)
Was passiert nach 12,4 h?
Hinweis zu Aufgabe d)
Denke an das Verhalten für |t| → ∞.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

p = 2π : (π/6,2) = 12,4 h. Höchster Stand 3 + 1,8 = 4,8 m, niedrigster 3 − 1,8 = 1,2 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

sin(π/6,2 · t) = 5/9 → t₁ ≈ 1,16 h und t₂ ≈ 5,04 h.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Alle 12,4 Stunden wiederholt sich der Wasserstand: Zwischen zwei Hochwassern liegen etwa 12 h 25 min — etwa zwei Fluten pro Tag.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Nein. Eine nicht konstante ganzrationale Funktion ist nie periodisch und wächst für |t| → ∞ betragsmäßig über alle Grenzen. Sie kann die Gezeiten höchstens auf einem kurzen Zeitabschnitt annähern.