Globale Eigenschaften

Globale Eigenschaften gelten für den ganzen Graphen, nicht nur an einer Stelle. Die wichtigste: die Symmetrie.

• Achsensymmetrisch:zur \(y\)-Achse, wenn \(f(-x)=f(x)\) für alle \(x\) gilt.
• Punktsymmetrisch:zum Ursprung, wenn \(f(-x)=-f(x)\) für alle \(x\) gilt.
• Gerade Exponenten:nur \(x^4,\ x^2,\ x^0\) im Term → achsensymmetrisch.
• Ungerade Exponenten:nur \(x^3,\ x^1\) → punktsymmetrisch; gemischt → keine dieser beiden Symmetrien.

Wähle oben ein Beispiel, blende das Spiegelbild ein und vergleiche es mit dem Graphen. Ziehe \(P\) über den Graphen (Pfeiltasten links/rechts) und entscheide dann, welche Symmetrie vorliegt.

Halte fest: Deckt das Spiegelbild den Graphen vollständig, liegt die Symmetrie vor. Ein einzelner Punkt reicht als Nachweis nicht — Beispiel 3 ist punktsymmetrisch nur zu \((0\mid 1)\), Beispiel 4 achsensymmetrisch nur zur Geraden \(x=-1\).

\(f(x)=x^3-4x\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Weit draußen entscheidet bei ganzrationalen Funktionen allein der Summand mit dem höchsten Exponenten.

• Leitterm:\(f(x)=-2x^3+5x^2-1\) verhält sich für \(|x|\to\infty\) wie \(-2x^3\).
• Grad gerade:beide Enden gleich: \(a_n>0\) → beide nach \(+\infty\), \(a_n<0\) → beide nach \(-\infty\).
• Grad ungerade:Enden entgegengesetzt: \(a_n>0\) → von links unten nach rechts oben, \(a_n<0\) umgekehrt.
• Asymptote:\(f(x)=2+e^{-x}\): \(e^{-x}\to 0\) für \(x\to\infty\), also nähert sich der Graph der Geraden \(y=2\).
• Periodisch:\(f(x+p)=f(x)\) für alle \(x\); \(\sin(bx)\) hat die Periode \(p=\frac{2\pi}{b}\). Ganzrationale Funktionen (außer Konstanten) sind nie periodisch.