Stetigkeit: Übungen – Mathe Klasse 13

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; die Erklärung nach dem Prüfen zeigt, wo der typische Fehler liegt.

Stetig an der Nahtstelle?

AFB I

Welche Funktionen sind an ihrer Nahtstelle stetig?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Bei 2x und x + 2 liefert x = 1 die Werte 2 und 3 — ein Sprung der Höhe 1. |x| hat bei 0 einen Knick, aber keinen Sprung.

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Fünf Behauptungen über Stetigkeit.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Stetig heißt anschaulich: kein Absetzen des Stifts — ein Knick ist dabei erlaubt.

Lückentext: Definition

AFB I

Setze die Begriffe ein — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Eine abschnittsweise definierte Funktion kann nur an der unstetig sein. Dort vergleicht man den Grenzwert, den Grenzwert und den f(x₀). Sind die Grenzwerte verschieden, liegt eine vor.

„Steigung“ bleibt übrig — die spielt erst bei der Differenzierbarkeit eine Rolle.

Was passiert bei x₀?

AFB I

Ordne die Funktionen nach ihrem Verhalten an der Stelle x₀ = 1.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1stetig

2Sprungstelle

3bei x₀ nicht definiert

Wo kein Funktionswert existiert, kann man nicht von Stetigkeit an dieser Stelle sprechen — sie liegt gar nicht im Definitionsbereich.

Parameter bestimmen

AFB I

f(x) = a · x² für x < −1 und f(x) = 2x + 5 für x ≥ −1. Für welches a ist f stetig?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Links: a · (−1)² = a, rechts: f(−1) = −2 + 5 = 3. Also a = 3.

Stetigkeit prüfen

AFB II

Bringe die Schritte der Prüfung in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Nahtstelle x₀ bestimmen

2Linken Term an x₀ auswerten (linksseitiger Grenzwert)

3Rechten Term an x₀ auswerten

4Klären, welcher Term in x₀ selbst gilt

5Werte vergleichen und entscheiden

Die Zeichen < und ≤ entscheiden, welcher Term den Funktionswert f(x₀) liefert.

Rechenkette: Sprung vermessen

AFB II

f(x) = x³ − 2x für x < 2 und f(x) = 3x + b für x ≥ 2.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Linksseitiger Grenzwert bei 2
Funktionswert f(2) für b = −1
Sprunghöhe für b = −1
b, für das f stetig ist

8 − 4 = 4 links; 6 + b rechts. Stetig für 6 + b = 4, also b = −2.

Grenzwerte zuordnen

AFB II

Ordne jeder Funktion den linksseitigen Grenzwert an ihrer Nahtstelle zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Bei stetigen Termen genügt Einsetzen der Nahtstelle in den linken Term.

Fehlersuche: Stetigkeit

AFB II

Sechs Aussagen aus einem Heft — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Beim Parameter lohnt die Probe: Mit a = −2 wird links 1 + 2 = 3 — passt.

A10

Wie viele Parameterwerte?

AFB III

Schätze ein, für wie viele Werte von a die Funktion an der Nahtstelle stetig ist.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = keinen, 2 = genau einen, 3 = zwei, 4 = unendlich viele. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = keinen4 = unendlich viele

x² + a für x < 1, 3 für x ≥ 1

x + a² für x < 0, 4 für x ≥ 0

a · x für x < 0, 1 für x ≥ 0

a · x für x < 0, 0 für x ≥ 0

eˣ + a für x < 0, 2 für x ≥ 0

a · x liefert an der Stelle 0 immer 0 — egal wie a gewählt wird. Deshalb passt entweder jedes a oder keines.