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Stetigkeit

Taxitarif und dreiteilige Funktion: Wo springt der Preis — und wie wählt man Parameter, damit nichts springt?

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Der Taxitarif

AFB I–II

Ein Taxiunternehmen berechnet für eine Fahrt von x km den Preis K(x) = 4 + 2x für 0 < x ≤ 10 und K(x) = a + 1,5x für x > 10 (K in €).

  1. Berechne den Preis für eine 10 km lange Fahrt.
  2. Bestimme a so, dass der Tarif stetig ist.
  3. Interpretiere für a = 6 den Sprung bei 10 km im Sachzusammenhang.
  4. Nimm Stellung zu einem Tarif, der an der Stelle 10 springt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Für x = 10 gilt der erste Term.
Hinweis zu Aufgabe b)
Rechter Term an der Stelle 10 = K(10).
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche K(10) mit dem Grenzwert von rechts.
Hinweis zu Aufgabe d)
Was passiert bei 10,1 km im Vergleich zu 10 km?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

K(10) = 4 + 20 = 24 €.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

a + 15 = 24 → a = 9.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Von rechts: 6 + 15 = 21 €. Eine Fahrt knapp über 10 km kostet etwa 3 € weniger als genau 10 km — der Preis springt um 3 € nach unten.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Ein Sprung ist unfair und lädt zu Umwegen ein: Wer knapp unter 10 km fährt, zahlt mehr als bei einem längeren Weg. Ein stetiger Tarif (a = 9) vermeidet das; ab 10 km wird nur der Kilometerpreis günstiger.

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Drei Abschnitte

AFB II–III

Gegeben ist f(x) = x² + a für x < 0, f(x) = b · x + 1 für 0 ≤ x ≤ 2 und f(x) = 4 − x für x > 2.

  1. Bestimme a und b so, dass f auf ganz ℝ stetig ist.
  2. Skizziere den Graphen von f für −2 ≤ x ≤ 4.
  3. Zeige, dass f für diese Werte an der Stelle 0 nicht differenzierbar ist.
  4. Begründe, warum man Stetigkeit nur an den Nahtstellen prüfen muss.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Zwei Nahtstellen, zwei Bedingungen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Parabelast, Geradenstück, fallende Gerade.
Hinweis zu Aufgabe c)
Steigungen von links und rechts an der Stelle 0.
Hinweis zu Aufgabe d)
Welche Terme stehen in den Abschnitten?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Bei 0: a = 1. Bei 2: 2b + 1 = 4 − 2 = 2 → b = 0,5.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Parabel x² + 1 bis (0 | 1), Gerade mit Steigung 0,5 bis (2 | 2), danach fallende Gerade 4 − x durch (4 | 0) — ohne Sprung, mit Knicken bei 0 und 2.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Links: (x² + 1)′ = 2x → 0; rechts: 0,5. Die Steigungen sind verschieden — Knick, nicht differenzierbar.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

In jedem Abschnitt steht ein ganzrationaler Term; diese sind überall stetig. Ein Sprung kann nur dort entstehen, wo die Terme wechseln.