Sprung oder kein Sprung
Eine abschnittsweise definierte Funktion setzt sich aus Termen zusammen, die an einer Nahtstelle \(x_0\) aneinanderstoßen. Stetig heißt: Dort gibt es keinen Sprung.
- Schreibweise:\(f(x)=\begin{cases} g(x), & x<x_0\\ h(x), & x\ge x_0\end{cases}\)
- Linksseitig:Wert, dem sich \(f(x)\) für \(x\to x_0\) von links nähert — hier \(g(x_0)\).
- Rechtsseitig:Wert von rechts — hier \(h(x_0)\), zugleich der Funktionswert \(f(x_0)\).
- Stetig in \(x_0\):beide Werte stimmen überein; anschaulich: den Graphen ohne Absetzen des Stifts zeichnen.
- Sprungstelle:links- und rechtsseitiger Wert verschieden.
Baue das rechte Stück \(h(x)=m\cdot x+b\) aus den Bausteinen für \(m\) und \(b\) so, dass an der Nahtstelle kein Sprung entsteht. Finde je Auftrag drei verschiedene stetige Anschlüsse.
Halte fest: Stetig ist der Anschluss genau dann, wenn \(h(x_0)=g(x_0)\) gilt. Das ist nur eine Bedingung für zwei Bausteine — deshalb gibt es viele stetige Anschlüsse.
Stetigkeit rechnerisch herstellen
Ganzrationale Funktionen, e- und Sinusfunktionen sind überall stetig. Prüfen muss man nur die Nahtstelle — dort genügt Einsetzen.
Rechnung:\(f(x)=\begin{cases} x^2+a, & x<2\\ 3x-1, & x\ge 2\end{cases}\) — für welches \(a\) ist \(f\) stetig?
Der linke Term gilt für \(x<2\); an der Nahtstelle einsetzen.
Der rechte Term gilt auch in \(x_0=2\) selbst.
Kein Sprung: beide Werte gleich.
Für jedes andere \(a\) springt der Graph bei \(x=2\) um \(|4+a-5|\).
\(f\) stetig in \(x_0\): \(\lim\limits_{x\to x_0^-} f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+} f(x)=f(x_0)\)
Allgemeine Hinweise
Nur die Nahtstelle
Innerhalb der Abschnitte sind die Terme stetig. Die Frage „stetig?“ entscheidet sich allein an \(x_0\).
Welcher Term gilt in x₀?
Das Zeichen \(\le\) oder \(\ge\) sagt, zu welchem Stück der Funktionswert \(f(x_0)\) gehört — nicht einfach den linken Term nehmen.
Stetig ist nicht glatt
Ein Knick ist erlaubt: Auch \(|x|\) ist bei \(0\) stetig. Ob der Übergang glatt ist, klärt erst die Ableitung (5.2.2).