Scharen mit e-Funktionen: Übungen – Mathe Klasse 13

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; die Erklärung nach dem Prüfen zeigt, wo der typische Fehler liegt.

Die Schar (x + k) · e^(−x)

AFB I

Welche Aussagen gelten für f_k(x) = (x + k) · e^−x?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

f_k(0) = k — nur f₁ geht durch (0 | 1). f₀(x) = x · e^−x ist keine Nullfunktion.

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Fünf Behauptungen über e-Scharen.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Der e-Faktor ist der Freund beim Lösen: ausklammern und wegdividieren.

Lückentext: ableiten

AFB I

Setze die Begriffe ein — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Bei (x + k) · e^−x braucht man die , für e^−x die . Nach dem Ableiten kann man e^−x . Weil dieser Faktor nie wird, bleibt eine einfache Gleichung. Eine Frage zur ganzen Schar führt oft auf eine in k.

„Quotientenregel“ bleibt übrig — es gibt hier keinen Bruch.

Monotonie von e^(kx)

AFB I

Ordne die Werte von k nach dem Monotonieverhalten von f_k(x) = e^kx.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1streng monoton steigend

2streng monoton fallend

3konstant

f_k′(x) = k · e^kx hat das Vorzeichen von k.

Extremstelle

AFB I

f_k(x) = (x + k) · e^−x hat die Extremstelle x = 1 − k. Gib sie für k = 3 an.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

x = 1 − 3 = −2.

Hochpunkt herleiten

AFB II

Bringe die Schritte zur Bestimmung des Hochpunkts von f_k(x) = (x + k) · e^−x in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1f_k′(x) = 1 · e^−x + (x + k) · (−e^−x)

2f_k′(x) = (1 − x − k) · e^−x

31 − x − k = 0, da e^−x > 0

4x = 1 − k

5f_k(1 − k) = e^{k − 1} → H(1 − k | e^{k − 1})

f_k(1 − k) = (1 − k + k) · e^{−(1 − k)} = e^{k − 1}.

Rechenkette: e^(2x) − kx

AFB II

f_k(x) = e^2x − kx mit k > 0 hat die Extremstelle x = ½ · ln(k/2).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Extremstelle für k = 2
Extremstelle für k = 8 (vier Nachkommastellen)
Zugehöriger y-Wert (drei Nachkommastellen)
k, für das die Extremstelle bei x = 1 liegt (zwei Nachkommastellen)

f_k′(x) = 2e^2x − k = 0 → x = ½ ln(k/2). Für x = 1: k = 2e² ≈ 14,78.

Nullstellen zuordnen

AFB II

Ordne jeder Schar ihre Nullstellen zu (k > 0).

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Nullstellen einer e-Schar stecken immer im Faktor vor dem e.

Fehlersuche: e-Schar

AFB II

Untersuchung von f_k(x) = k · x · eˣ (k > 0) — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Ein Faktor k vor dem ganzen Term streckt nur in y-Richtung; die Lage der Extremstelle ändert sich nicht.

A10

Nullstellen von (x² − k) · eˣ

AFB III

Schätze die Anzahl der Nullstellen für den angegebenen Wert ein.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = keine, 2 = eine, 3 = zwei. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = keine3 = zwei

k = 4

k = 0

k = −1

k = 0,01

k = −9

x² = k hat für k > 0 zwei, für k = 0 eine und für k < 0 keine Lösung — der e-Faktor spielt keine Rolle.