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Scharen mit e-Funktionen

Hochpunkte, die mit k wandern, und Verkaufszahlen, die steigen und wieder fallen — e-Scharen im Abiturformat.

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Eine e-Schar untersuchen

AFB I–II

Gegeben ist fk(x) = (x + k) · e−x mit k ∈ ℝ.

  1. Gib die Nullstelle und das Verhalten für x → ∞ an.
  2. Bestimme den Hochpunkt in Abhängigkeit von k.
  3. Ermittle k so, dass der Hochpunkt auf der y-Achse liegt.
  4. Berechne den Wendepunkt in Abhängigkeit von k.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
e−x wird nie null.
Hinweis zu Aufgabe b)
Produkt- und Kettenregel, e−x ausklammern.
Hinweis zu Aufgabe c)
xH = 0 setzen.
Hinweis zu Aufgabe d)
fk″(x) = (x + k − 2) · e−x.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Nullstelle x = −k. Für x → ∞ gilt fk(x) → 0, weil e−x schneller gegen 0 geht, als x + k wächst.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

fk′(x) = (1 − x − k)e−x = 0 → x = 1 − k; Vorzeichenwechsel + → −: H(1 − k | ek − 1).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

1 − k = 0 → k = 1, H(0 | 1).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

fk″(x) = 0 → x = 2 − k; fk(2 − k) = 2ek − 2 → W(2 − k | 2ek − 2).

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Verkaufszahlen eines Spiels

AFB II–III

Die wöchentlichen Verkaufszahlen eines neuen Spiels werden durch va(t) = a · t² · e−0,5t modelliert (t in Wochen, v in 100 Stück, a > 0).

  1. Zeige, dass das Verkaufsmaximum für jedes a nach vier Wochen erreicht wird.
  2. Bestimme a so, dass in der besten Woche 1000 Stück verkauft werden.
  3. Berechne den Zeitpunkt, zu dem die Verkaufszahlen am stärksten zurückgehen.
  4. Beurteile das Modell für große t.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
va′(t) = a(2t − 0,5t²)e−0,5t.
Hinweis zu Aufgabe b)
va(4) = 10.
Hinweis zu Aufgabe c)
Wendestellen: va″(t) = a(0,25t² − 2t + 2)e−0,5t.
Hinweis zu Aufgabe d)
Was passiert mit v für t → ∞?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

va′(t) = 0 → t(2 − 0,5t) = 0 → t = 0 oder t = 4; Vorzeichenwechsel + → − bei 4. Die Stelle hängt nicht von a ab.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

16a · e−2 = 10 → a = 10e²/16 ≈ 4,62.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

0,25t² − 2t + 2 = 0 → t = 4 ± √8. Der stärkste Rückgang liegt bei t ≈ 6,83 Wochen (bei t ≈ 1,17 ist der stärkste Anstieg).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

va(t) → 0: Die Verkäufe laufen aus — plausibel für ein Spiel ohne Neuauflage. Nicht erfasst sind Effekte wie Rabattaktionen oder Weihnachtsgeschäft; das Modell taugt eher für die ersten Monate.