Der Hochpunkt wandert mit k
Bei \(f_k(x)=x\cdot e^{-kx}\) mit \(k>0\) steckt der Parameter im Exponenten. Abgeleitet wird mit Produkt- und Kettenregel — \(k\) bleibt dabei eine Zahl.
- Nullstelle:nur \(x=0\), für jedes \(k\) — der Faktor \(e^{-kx}\) wird nie \(0\).
- Für \(x\to\infty\):\(e^{-kx}\) fällt schneller, als \(x\) wächst: \(f_k(x)\to 0\), Asymptote \(y=0\).
- Für \(x\to-\infty\):\(f_k(x)\to-\infty\).
- Ableitung:\(f_k'(x)=(1-kx)\,e^{-kx}\).
\(u=x,\ v=e^{-kx}\); Kettenregel: \(v'=-k\,e^{-kx}\).
\(e^{-kx}>0\) — also muss der andere Faktor \(0\) sein.
\(f_k'\) wechselt dort von \(+\) nach \(-\): Hochpunkt.
\(f_k\big(\tfrac1k\big)=\tfrac1k\cdot e^{-1}\).
Hochpunkt der Schar: \(H_k\Big(\tfrac1k\;\Big|\;\tfrac{1}{k\,e}\Big)\)
Aussagen über alle Scharkurven
Liegen die Koordinaten als Terme in \(k\) vor, lassen sich Fragen zur ganzen Schar mit einer Ungleichung beantworten.
- Wendepunkt:\(f_k''(x)=(k^2x-2k)\,e^{-kx}=0\) → \(W_k\Big(\tfrac2k\;\Big|\;\tfrac{2}{k\,e^2}\Big)\).
- Einfluss von \(k\):größeres \(k\) → Hochpunkt näher an der \(y\)-Achse und niedriger.
- Bedingung:„Hochpunkt rechts von \(x=1\)“: \(\tfrac1k>1\) ⇔ \(k<1\).
Wähle einen Auftrag und markiere alle Scharkurven, die ihn erfüllen: Kurve anklicken oder unten den Wert von \(k\) wählen. Erst rechnen, dann mit „Prüfen“ vergleichen.
Halte fest: Mit \(H_k\) und \(W_k\) als Termen wird aus „welche Kurven?“ eine Ungleichung für \(k\) — ganz ohne jede Kurve einzeln zu untersuchen.
Allgemeine Hinweise
Kettenregel nicht vergessen
\((e^{-kx})'=-k\,e^{-kx}\). Wer den Faktor \(-k\) weglässt, erhält \(x=1\) als Extremstelle — für jede Scharkurve dieselbe.
e-Faktor ausklammern
Nach dem Ableiten \(e^{-kx}\) ausklammern. Da er nie \(0\) wird, bleibt eine einfache Gleichung übrig.
Bedingung an k beachten
Die Formeln gelten für \(k>0\). Beim Umformen einer Ungleichung mit \(k\) nur mit positiven Zahlen multiplizieren — sonst dreht sich das Zeichen.