Ganzrationale Scharen: Übungen – Mathe Klasse 13

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; die Erklärung nach dem Prüfen zeigt, wo der typische Fehler liegt.

Die Schar x² − k

AFB I

Welche Aussagen gelten für f_k(x) = x² − k?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

k steht als Summand — der Graph wird in y-Richtung verschoben. Beim Ableiten fällt −k weg: f_k′(x) = 2x.

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Fünf Behauptungen über Funktionenscharen.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Parameter behandeln wie Zahlen — und am Ende fragen, für welche k das Ergebnis gilt.

Lückentext: Schar untersuchen

AFB I

Setze die Begriffe ein — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Beim Ableiten behandelt man k wie eine feste und leitet nur nach ab. Hängt die Lösung von k ab, braucht man oft eine . Soll eine Scharkurve eine Eigenschaft haben, bestimmt man den passenden . Steht k unter einer , muss k ≥ 0 sein.

„Konstante x“ bleibt übrig — x ist die Variable, nach der abgeleitet wird.

Extrempunkte von x³ − kx

AFB I

Ordne die Werte von k nach der Anzahl der Extrempunkte von f_k(x) = x³ − kx.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1zwei Extrempunkte

2Sattelpunkt, kein Extrempunkt

3keine Extrempunkte

f_k′(x) = 3x² − k = 0 hat für k > 0 zwei Lösungen, für k = 0 die doppelte Lösung 0 (Sattelpunkt), für k < 0 keine.

Scheitel an gewünschter Stelle

AFB I

f_k(x) = kx² − 4x hat den Scheitel bei x = 2/k. Für welches k liegt er bei x = 0,5?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

2/k = 0,5 → k = 4.

Eine Schar untersuchen

AFB II

Bringe die Schritte zur Bestimmung der Extrempunkte einer Schar in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1f_k′ und f_k″ nach x bilden

2f_k′(x) = 0 nach x lösen

3Fälle für k unterscheiden (wann gibt es Lösungen?)

4Art der Extrema mit f_k″ prüfen

5y-Koordinaten mit f_k berechnen

Die Fallunterscheidung gehört direkt hinter das Lösen der Gleichung — sie entscheidet, ob es überhaupt Extremstellen gibt.

Rechenkette: Scheitel wandern

AFB II

f_k(x) = −x² + kx hat den Scheitel S_k(k/2 | k²/4).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

x-Koordinate für k = 6
y-Koordinate für k = 6
k > 0, für das der Scheitel auf Höhe 16 liegt
Nullstelle x > 0 dieses Graphen

k²/4 = 16 → k = 8 (k > 0). f₈(x) = −x² + 8x = x(8 − x) hat die Nullstellen 0 und 8.

Wirkung des Parameters

AFB II

Ordne jeder Schar zu, wie k den Graphen der Normalparabel verändert.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Bei x² + kx liegt der Scheitel bei (−k/2 | −k²/4) — mit x = −k/2 wird y = −x².

Fehlersuche: eine Schar

AFB II

Untersuchung von f_k(x) = x³ − 6kx (k > 0) — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Zeile 5 stimmt: f_k″(x) = 6x = 0 → x = 0, der Wendepunkt (0 | 0) ist allen Graphen gemeinsam.

A10

Anzahl der Nullstellen

AFB III

Schätze ein, wie viele Nullstellen f_k(x) = x³ − 3x² + k für den angegebenen Wert hat.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = eine, 2 = zwei, 3 = drei. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = eine3 = drei

k = 2

k = 4

k = 5

k = 0

k = −1

Hochpunkt H(0 | k), Tiefpunkt T(2 | k − 4). Drei Nullstellen gibt es, wenn H über und T unter der x-Achse liegt: 0 < k < 4.