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Ganzrationale Scharen

Symmetrische Schar und Gewinnfunktion: Wie ein einziger Parameter Lage, Höhe und Wirtschaftlichkeit steuert.

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Eine symmetrische Schar

AFB I–II

Gegeben ist die Schar fk(x) = x⁴ − 2kx² mit k > 0.

  1. Begründe, dass alle Graphen achsensymmetrisch zur y-Achse sind, und bestimme die Nullstellen.
  2. Berechne die Extrempunkte in Abhängigkeit von k.
  3. Ermittle k so, dass die Tiefpunkte auf der Höhe −9 liegen.
  4. Stelle eine Vermutung über die Kurve auf, auf der alle Tiefpunkte liegen, und überprüfe sie.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Exponenten ansehen; x² ausklammern.
Hinweis zu Aufgabe b)
fk′(x) = 4x³ − 4kx = 4x(x² − k).
Hinweis zu Aufgabe c)
yT = −9 setzen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Trage T für k = 1, 2, 3 ein.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Nur gerade Exponenten → achsensymmetrisch. x²(x² − 2k) = 0 → x = 0 (doppelt) und x = ±√(2k).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

x = 0 und x = ±√k. fk″(x) = 12x² − 4k: fk″(0) = −4k < 0 → H(0 | 0); fk″(±√k) = 8k > 0 → T(±√k | −k²).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

−k² = −9 → k = 3 (k > 0); Tiefpunkte (±√3 | −9).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

T(1 | −1), T(√2 | −4), T(√3 | −9): Vermutung y = −x⁴. Nachweis: x = √k → k = x², y = −k² = −x⁴.

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Gewinn eines Betriebs

AFB II–III

Ein Betrieb hat die Kosten K(x) = x³ − 6x² + 15x + 10 und erzielt pro Mengeneinheit den Preis k, also Gk(x) = kx − K(x) (x in 1000 Stück, Geld in 1000 €).

  1. Berechne für k = 15 das Gewinnmaximum.
  2. Bestimme k so, dass der größte Gewinn bei einer Produktion von 5000 Stück erreicht wird.
  3. Ermittle für k = 15 mit dem GTR den Bereich, in dem der Betrieb Gewinn macht.
  4. Beurteile die Aussage: „Ein höherer Preis verschiebt das Gewinnmaximum zu größeren Stückzahlen.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
G₁₅(x) = −x³ + 6x² − 10.
Hinweis zu Aufgabe b)
Gk′(5) = 0 setzen.
Hinweis zu Aufgabe c)
G₁₅(x) = 0 lösen (Polynomgleichung Grad 3).
Hinweis zu Aufgabe d)
Gk′(x) = −3x² + 12x + k − 15 = 0 nach x auflösen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

G₁₅′(x) = −3x² + 12x = 0 → x = 4 (x = 0 ist Minimum); G₁₅(4) = −64 + 96 − 10 = 22: 22 000 € bei 4000 Stück.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Gk′(5) = −75 + 60 + k − 15 = 0 → k = 30.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Nullstellen ≈ 1,49 und ≈ 5,69 (die negative entfällt): Gewinn bei etwa 1490 bis 5690 Stück.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

x = 2 + √(4 + (k − 15)/3) wächst mit k — die Aussage stimmt (für k ≥ 3). Sachlich: Bei höherem Preis lohnt es sich, auch teurere Mengen noch zu produzieren; ob der Markt die Menge abnimmt, bleibt eine Modellgrenze.