Ganzrationale Scharen

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Eine Schar von Graphen

Steht im Funktionsterm ein Parameter \(a\), gehört zu jedem Wert von \(a\) eine eigene Funktion — eine Funktionenschar \(f_a\).

Schar:\(f_a(x)=a\,x^2(x-3)\) mit \(a\neq 0\).
Nullstellen:\(x=0\) (doppelt) und \(x=3\) bleiben für jedes \(a\) gleich.
Streckung:Jeder Funktionswert wird mit \(a\) multipliziert; \(a<0\) spiegelt den Graphen an der \(x\)-Achse.
Extremstellen:bleiben bei \(x=0\) und \(x=2\); nur die \(y\)-Werte ändern sich, bei \(a<0\) tauschen Hoch- und Tiefpunkt.
Anpassen:eine Unbekannte \(a\) → eine Bedingung legt die Funktion fest.

Wähle eine Zielvorgabe und stelle \(a\) mit dem Regler ein — oder ziehe den Extrempunkt bei \(x=2\) nach oben oder unten (Pfeiltasten: \(a\) in Schritten von \(0{,}05\)). Ist das Ziel erreicht, wird es grün. Passt kein \(a\), drücke „Geht nicht“.

Parameter a

Zielvorgabe

Halte fest: Der Parameter \(a\) streckt nur in \(y\)-Richtung. Bedingungen an Höhe oder Steigung lassen sich mit genau einem \(a\) erfüllen — die Lage der Null- und Extremstellen verschiebt er nie.

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Die Schar allgemein untersuchen

Man rechnet mit dem Parameter wie mit einer festen Zahl. Das Ergebnis hängt von \(k\) ab — oft mit Fallunterscheidung.

Rechnung:

\(f_k(x)=x^3-3kx\), gesucht sind die Extrempunkte.

\(f_k'(x)=3x^2-3k=0\)

| notwendig

Ableiten nach \(x\) — \(k\) bleibt als Faktor stehen.

\(x^2=k\)

| : 3, + k

Für \(k\le 0\) gibt es hier keine zwei Lösungen — Fallunterscheidung.

\(x_{1,2}=\pm\sqrt{k}\quad (k>0)\)

| √

Hinreichend: \(f_k''(x)=6x\) ist bei \(-\sqrt k\) negativ, bei \(+\sqrt k\) positiv.

\(H_k\big(-\sqrt k\mid 2k\sqrt k\big),\ T_k\big(\sqrt k\mid -2k\sqrt k\big)\)

Ergebnis

\(y\)-Werte: \(f_k(\sqrt k)=k\sqrt k-3k\sqrt k=-2k\sqrt k\).

\(k>0\):ein Hoch- und ein Tiefpunkt.
\(k=0\):\(f_0(x)=x^3\) — Sattelpunkt im Ursprung.
\(k<0\):\(f_k'(x)>0\) für alle \(x\) — keine Extrempunkte.
Anpassen:Tiefpunkt auf Höhe \(-16\): \(-2k\sqrt k=-16\) → \(k\sqrt k=8\) → \(k=4\).

Merke

Schar untersuchen: \(f_k'(x)=0\) nach \(x\) lösen — die Lösungen hängen von \(k\) ab, Fälle für \(k\) unterscheiden.

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Allgemeine Hinweise

Nach x ableiten

In \(f_k'(x)\) wird nur nach \(x\) abgeleitet. Der Parameter \(k\) verhält sich wie eine Zahl: \((3kx)'=3k\).

Vorzeichen von a prüfen

Bei \(f_a(x)=a\,x^2(x-3)\) ist \((2\mid -4a)\) für \(a<0\) ein Hochpunkt, für \(a>0\) ein Tiefpunkt. Passt das Vorzeichen nicht zur Bedingung, gibt es keine Lösung.

Nicht jede Bedingung erfüllbar

Die Lage einer Extremstelle hängt hier nicht von \(a\) ab. „Hochpunkt bei \(x=3\)“ erfüllt kein einziges \(a\).