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Regression mit dem GTR

Tagestemperatur und Ballwurf: Der GTR findet die Ausgleichskurve — ob sie etwas taugt, entscheidest du.

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Ein Sommertag

AFB I–II

An einem Sommertag wurde die Lufttemperatur gemessen (t in h, T in °C):

t: 6 · 8 · 10 · 12 · 14 · 16 · 18
T: 8 · 11 · 15 · 18 · 19 · 17 · 13

  1. Bestimme mit dem GTR eine kubische Regressionsfunktion (vier Nachkommastellen).
  2. Ermittle mit dem Modell die Höchsttemperatur und ihren Zeitpunkt.
  3. Berechne den Modellwert für t = 22.
  4. Beurteile das Modell anhand von r² und dem Ergebnis aus c).

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
STAT › F2 (CALC) › F3 (REG) › F4 (X³).
Hinweis zu Aufgabe b)
Hochpunkt im Graph-Menü (G-Solv › MAX) oder f′(t) = 0.
Hinweis zu Aufgabe c)
Mit COPY übernommene Funktion auswerten.
Hinweis zu Aufgabe d)
Was sagt r², was sagt der Wert bei 22 Uhr?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

T(t) ≈ −0,0174t³ + 0,4196t² − 1,5317t + 5,6667 mit r² ≈ 0,994.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Maximum bei t ≈ 14,0 h mit T ≈ 18,8 °C.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

T(22) ≈ −9,8 °C.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Im Messbereich passt das Modell sehr gut (r² ≈ 0,994). Für 22 Uhr liefert es aber −9,8 °C — im Sommer unmöglich. Außerhalb des Messbereichs bestimmt der Term −0,0174t³ den Verlauf; das Modell eignet sich nur für 6 bis 18 Uhr.

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Der Ballwurf

AFB II–III

Die Höhe eines geworfenen Balls wurde per Video ausgewertet (t in s, h in m):

t: 0 · 0,25 · 0,5 · 0,75 · 1,0 · 1,25
h: 1,8 · 3,9 · 5,3 · 6,0 · 6,1 · 5,4

  1. Bestimme eine quadratische Regressionsfunktion h(t) (drei Nachkommastellen).
  2. Berechne die maximale Höhe und den Zeitpunkt, zu dem der Ball den Boden erreicht.
  3. Vergleiche den Koeffizienten a mit dem physikalischen Wert −g/2 ≈ −4,9 m/s².
  4. Diskutiere, warum hier eine Regression sinnvoller ist als eine Kurvenanpassung durch drei Punkte.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
STAT › F2 (CALC) › F3 (REG) › F3 (X²).
Hinweis zu Aufgabe b)
Scheitel; Nullstelle mit t > 0.
Hinweis zu Aufgabe c)
Relative Abweichung berechnen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Messfehler, Anzahl der Punkte.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

h(t) ≈ −5,486t² + 9,749t + 1,800 mit r² ≈ 0,9998.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Scheitel bei t ≈ 0,889 s mit h ≈ 6,13 m. h(t) = 0 → t ≈ 1,95 s (die negative Lösung entfällt).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

a ≈ −5,49 statt −4,9, etwa 12 % Abweichung. Ursachen: Messungenauigkeit bei der Videoauswertung, Luftwiderstand, Perspektive der Kamera.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Drei Punkte würden die Parabel festlegen und jeden Messfehler voll übernehmen — je nach Auswahl ergäben sich verschiedene Kurven. Die Regression nutzt alle sechs Messwerte und gleicht die Fehler aus; wegen r² nahe 1 ist das Modell im Messbereich gut belegt. Grenzen: Außerhalb von 0 bis 1,25 s ist es nur so gut wie die Physik dahinter.