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Regression mit dem GTR

Neun Messpunkte, eine Kurve dritten Grades — und sie muss durch keinen einzigen davon gehen.

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Viele Punkte, eine Ausgleichskurve

Bei der Kurvenanpassung geht der Graph exakt durch \(n+1\) vorgegebene Punkte. Echte Messwerte streuen aber — dann sucht man die Kurve, die zu allen Punkten zusammen am besten passt.

  • Kurvenanpassung:Grad 3 → genau 4 Punkte → LGS; der Graph trifft diese 4 Punkte, alle anderen bleiben unberücksichtigt.
  • Regression:alle Messpunkte zählen; die Kurve geht meist durch keinen von ihnen.
  • Abweichung:\(r_i=y_i-f(x_i)\) — senkrechter Abstand zwischen Messpunkt und Graph.
  • Gütemaß:Summe der Abweichungsquadrate \(S=r_1^2+r_2^2+\ldots+r_n^2\).
  • Warum Quadrate:Positive und negative Abweichungen heben sich nicht auf, große zählen stärker.
Rechnung:
\(r=y-f(4)=7-6{,}5\)
| einsetzen

Messpunkt \(P(4\mid 7)\), die Kurve liefert an dieser Stelle \(f(4)=6{,}5\).

\(r=0{,}5\)
| ausrechnen

Der Punkt liegt \(0{,}5\) über dem Graphen.

\(r^2=0{,}25\)
| quadrieren

Dieser Punkt trägt \(0{,}25\) zur Summe \(S\) bei.

Wähle im Modus „Anpassung“ vier Messpunkte (Klick oder Tab und Enter) — die Kurve dritten Grades geht exakt hindurch. „Quadrate umlegen“ zerlegt die Abweichungsquadrate in Streifen gleicher Breite und stapelt sie zu einer Säule. Dann dasselbe mit der Regression.

Abweichungsquadrate stapeln

Halte fest: Die Regressionssäule ist immer die niedrigste — ganz gleich, welche vier Punkte du für die Anpassung wählst. Genau so ist die Regressionskurve festgelegt.

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Regression mit dem GTR

Die Koeffizienten der Ausgleichskurve berechnet der GTR im Statistik-Menü, das CAS in der Applikation Lists & Spreadsheet.

  • Listen:MENU › Statistik; x-Werte in List 1, y-Werte in List 2.
  • Einstellen:F2 (CALC) › F6 (SET): 2Var XList = List1, 2Var YList = List2, zurück mit EXIT.
  • Rechnen:F3 (REG) › F4 (X³) für Grad 3 — oder F3 (X²) für Grad 2.
  • Ablesen:\(a,\ b,\ c,\ d\) für \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) und \(r^2\): je näher an \(1\), desto besser passt die Kurve. COPY übernimmt sie in den Graph-Editor.
  • TI-Nspire:Lists & Spreadsheet, Spalten x und y benennen; menu › 4: Statistik › 1: Statistische Berechnungen › 7: Kubische Regression; X-Liste x, Y-Liste y → Tabelle mit \(a,\ b,\ c,\ d\) und \(R^2\).
  • Befehl:im Calculator CubicReg x,y (Grad 2: QuadReg x,y), Ergebnisse in stat.results.
Merke

Regression: Die Summe der Abweichungsquadrate \(S=\sum r_i^2\) wird minimal.

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Allgemeine Hinweise

Den Grad wählst du

Der Rechner führt jede Regression aus, auch eine unpassende. Welcher Grad sinnvoll ist, zeigen die Punktwolke und der Sachzusammenhang.

Nicht zu früh runden

Der Koeffizient \(a\) ist oft sehr klein. Mit zwei Nachkommastellen wird aus \(-0{,}0101\) schnell \(0\) — übernimm die Kurve mit COPY oder mit vier gültigen Ziffern.

Nur im Messbereich deuten

Zwischen den Messwerten passt die Ausgleichskurve gut. Weit außerhalb — etwa nachts um 3 Uhr — liefert sie oft unsinnige Werte.

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