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1
Eine Parabelschar
AFB I–IIGegeben ist fk(x) = x² − 2kx + 2k mit k ∈ ℝ.
- Bestimme den Scheitel in Abhängigkeit von k.
- Leite die Gleichung der Ortskurve der Scheitel her.
- Ermittle den Scheitel, der am höchsten liegt.
- Zeige, dass alle Graphen durch diesen Punkt gehen, und erkläre diesen Zusammenhang.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
fk′(x) = 2x − 2k.
Hinweis zu Aufgabe b)
x = k.
Hinweis zu Aufgabe c)
Die Ortskurve ist eine Parabel — ihr Scheitel?
Hinweis zu Aufgabe d)
Nach k ordnen: x² + 2k(1 − x).
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
x = k; fk(k) = k² − 2k² + 2k = −k² + 2k → Sk(k | −k² + 2k).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
k = x → y = −x² + 2x für alle x ∈ ℝ.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
y = −x² + 2x = −(x − 1)² + 1 ist maximal bei x = 1: S₁(1 | 1).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
fk(1) = 1 − 2k + 2k = 1 für jedes k: (1 | 1) ist gemeinsamer Punkt. Er liegt auf jedem Graphen, also kann kein Scheitel höher liegen — und für k = 1 ist er selbst Scheitel.
2
Eine e-Schar und ihre Ortskurven
AFB II–IIIGegeben ist fk(x) = (x − k) · eˣ mit k ∈ ℝ.
- Bestimme den Tiefpunkt Tk.
- Leite die Ortskurve der Tiefpunkte her.
- Ermittle die Ortskurve der Wendepunkte.
- Beurteile die Aussage: „Die Ortskurve der Wendepunkte ist selbst ein Graph der Schar.“
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
fk′(x) = (x − k + 1) · eˣ.
Hinweis zu Aufgabe b)
x = k − 1 → k = x + 1.
Hinweis zu Aufgabe c)
fk″(x) = (x − k + 2) · eˣ.
Hinweis zu Aufgabe d)
Vergleiche −2eˣ mit (x − k) · eˣ.
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
x = k − 1; Vorzeichenwechsel − → +; fk(k − 1) = −ek − 1: Tk(k − 1 | −ek − 1).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
k = x + 1 → y = −eˣ für alle x.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
x = k − 2, y = fk(k − 2) = −2ek − 2; mit k = x + 2: y = −2eˣ.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Falsch: Jeder Graph der Schar hat die Form (x − k) · eˣ mit einem linearen Faktor; −2eˣ hätte den konstanten Faktor −2. Für kein k stimmen die Terme überein.