Die Spur der Tiefpunkte
Ändert sich \(k\), wandert der Tiefpunkt der Scharkurve. Die Kurve, auf der er dabei entlangläuft, heißt Ortskurve.
- Schar:\(f_k(x)=x^3-3kx\) mit \(k>0\), Tiefpunkt \(T_k\big(\sqrt k\mid -2k\sqrt k\big)\) (aus 5.3.1).
- Ortskurve:Graph, auf dem alle Tiefpunkte \(T_k\) liegen — eine Gleichung ohne \(k\).
- Nicht verwechseln:Die Ortskurve ist selbst keine Scharkurve.
Ziehe den Tiefpunkt \(T\) nach links oder rechts (Pfeiltasten: Schritte von \(0{,}05\)). Der passende Wert von \(k\) und die Scharkurve folgen. Mit „Spur an“ hinterlässt \(T\) Punkte.
Halte fest: Die Tiefpunkte liegen nicht wahllos — sie bilden die Kurve \(y=-2x^3\) für \(x>0\). Die Hochpunkte \(H_k\) liegen auf demselben Graphen, für \(x<0\).
Die Ortskurve berechnen
Aus den Koordinaten \(x=x_T(k)\) und \(y=y_T(k)\) wird \(k\) eliminiert.
Herleitung:Tiefpunkt \(T_k\) aus der Untersuchung der Schar.
\(x=\sqrt k\) quadrieren; gilt für \(x>0\).
\(k=x^2\) in \(y\) einsetzen; \(\sqrt{x^2}=x\) für \(x>0\).
Gleichung der Ortskurve der Tiefpunkte.
- Probe:\(k=4\): \(T(2\mid -16)\) und \(-2\cdot 2^3=-16\) ✓
- Bereich:nur so weit, wie \(x_T(k)\) reicht — hier \(x>0\).
- Wendepunkte:genauso: \(W_k\) liefert eine eigene Ortskurve.
Ortskurve: \(x=x_E(k)\) nach \(k\) auflösen und in \(y=y_E(k)\) einsetzen.
Allgemeine Hinweise
Nach k auflösen
Meist ist die \(x\)-Koordinate die einfachere — nach \(k\) auflösen und in die \(y\)-Koordinate einsetzen.
Definitionsbereich angeben
Aus \(x=\sqrt k\) folgt \(x>0\). Ohne diese Einschränkung gehörten auch Punkte zur Ortskurve, die kein Tiefpunkt sind.
Probe mit einem k
Setze ein konkretes \(k\) ein und prüfe, ob der Extrempunkt die Gleichung der Ortskurve erfüllt.