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Eigenschaften übersetzen

Zehn Übungen vom Satz zur Gleichung — jede Eigenschaft wird zur Bedingung für f, f′ oder f″.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; die Erklärung nach dem Prüfen zeigt, wo der typische Fehler liegt.

A1
Tiefpunkt übersetzen
AFB I

Welche Aussagen folgen aus „Der Graph hat den Tiefpunkt T(2 | −3)“?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Als Gleichungen gehen nur f(2) = −3 und f′(2) = 0 ins LGS. Dass wirklich ein Tiefpunkt entsteht, zeigt erst die Probe mit f″ oder dem Vorzeichenwechsel.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen über Bedingungen.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Links die Stelle, rechts der Wert — die häufigste Verwechslung.
A3
Lückentext: Welche Ableitung?
AFB I

Setze die Begriffe ein — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Liegt ein Punkt auf dem Graphen, gilt eine Gleichung für . Eine waagerechte Tangente liefert eine Gleichung für . An einer Wendestelle ist null. Ein Sattelpunkt mit Koordinaten liefert insgesamt Bedingungen. Eine Funktion vom Grad n braucht Bedingungen.

„zwei“ bleibt übrig — so viele liefert ein Hoch-, Tief- oder Wendepunkt, nicht aber der Sattelpunkt.
A4
Welche Gleichung?
AFB I

Sortiere die Eigenschaften nach der Funktion, zu der die Gleichung gehört.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Gleichung für f
2Gleichung für f′
3Gleichung für f″
Parallel zu y = 3x heißt: Steigung 3, also f′(1) = 3 — über die Höhe sagt die Eigenschaft nichts.
A5
Bedingungen zählen
AFB I

Wie viele Bedingungen braucht man für eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion fünften Grades?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Ansatz f(x) = ax⁵ + bx³ + cx: drei Koeffizienten, also drei Bedingungen.
A6
Der Weg des Steckbriefs
AFB II

Bringe die Schritte einer Steckbriefaufgabe in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Grad und Symmetrie klären, Ansatz notieren
2f′ und f″ des Ansatzes aufschreiben
3Eigenschaften in Gleichungen übersetzen
4Das LGS lösen
5Funktionsterm angeben
6Probe: Erfüllt f alle Eigenschaften?
Die Ableitungen stehen vor den Bedingungen — sonst wird f′(1) = 0 aus Versehen in f eingesetzt.
A7
Rechenkette: Scheitel und Punkt
AFB II

Eine Parabel f(x) = ax² + bx + c hat den Scheitel S(1 | −2) und geht durch P(3 | 6).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. a
  2. b
  3. c
  4. f(4)
I: a + b + c = −2, II: f′(1) = 2a + b = 0, III: 9a + 3b + c = 6. III − I: 8a + 2b = 8 → 4a + b = 4; mit II: 2a = 4 → a = 2, b = −4, c = 0.
A8
Eigenschaft und Bedingungen
AFB II

Ordne jeder Eigenschaft die vollständigen Bedingungen zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Die Wendetangente liefert drei Bedingungen: den Punkt (1 | 3) auf der Tangente, ihre Steigung und die Wendestelle.
A9
Fehlersuche im Steckbrief
AFB II

Ein Steckbrief für f(x) = ax³ + bx² + cx + d — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
f″(x) = 6ax + 2b, also f″(2) = 12a + 2b — Zeile 4 stimmt.
A10
Wie viele Funktionen passen?
AFB III

Schätze für jeden Steckbrief ein, wie viele Lösungen das LGS hat.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = keine, 2 = genau eine, 3 = unendlich viele. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = keine3 = unendlich viele
Grad 2 durch (0 | 1), (1 | 2), (2 | 3)
Grad 3 mit f(0) = 0, f′(0) = 0, f(1) = 1
Grad 2 mit f(1) = 2, f(1) = 3, f(0) = 0
Grad 2 mit f′(1) = 0, f′(2) = 0, f(0) = 1
Grad 2 mit f(0) = 1, f(2) = 1, f′(1) = 0
Die drei Punkte der ersten Zeile liegen auf einer Geraden: eindeutige Lösung mit a = 0. In der letzten Zeile folgt f′(1) = 0 schon aus der Symmetrie der Parabel — die Bedingung ist überflüssig.