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Eigenschaften übersetzen

Rutsche und Spielhügel: Aus Worten werden Gleichungen — und aus Gleichungen ein Profil, das man beurteilen kann.

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Die Wasserrutsche

AFB I–II

Eine Wasserrutsche beginnt im Punkt A(0 | 4) waagerecht und endet im Punkt B(8 | 0) ebenfalls waagerecht (x und y in m). Ihr Profil soll durch eine ganzrationale Funktion dritten Grades beschrieben werden.

  1. Stelle die Bedingungen für f(x) = ax³ + bx² + cx + d auf.
  2. Bestimme den Funktionsterm.
  3. Berechne den größten Neigungswinkel der Rutsche.
  4. Beurteile die Rutsche, wenn eine Sicherheitsvorschrift höchstens 35° Neigung erlaubt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Zwei Punkte, zwei waagerechte Tangenten.
Hinweis zu Aufgabe b)
d und c folgen sofort; dann ein 2×2-LGS.
Hinweis zu Aufgabe c)
Am steilsten ist die Rutsche an der Wendestelle; α = tan⁻¹(|m|).
Hinweis zu Aufgabe d)
Vergleiche und überlege, was man an der Konstruktion ändern könnte.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

f(0) = 4, f′(0) = 0, f(8) = 0, f′(8) = 0.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

d = 4, c = 0; 512a + 64b = −4 und 192a + 16b = 0 → b = −12a → −256a = −4 → a = 0,015625, b = −0,1875. f(x) = 0,015625x³ − 0,1875x² + 4.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

f″(x) = 0,09375x − 0,375 = 0 → x = 4; f′(4) = 0,75 − 1,5 = −0,75. α = tan⁻¹(0,75) ≈ 36,9°.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

36,9° > 35°: Die Rutsche erfüllt die Vorschrift nicht. Eine längere Rutsche (B weiter rechts) oder ein niedrigerer Start verringert die größte Steigung.

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Der Spielhügel

AFB II–III

Ein Spielhügel hat im Querschnitt zwei gleich hohe Kuppen. Sein Profil ist achsensymmetrisch zur y-Achse, hat die Hochpunkte H(±2 | 5) und in der Mitte die Höhe 1 (Angaben in m).

  1. Begründe den Ansatz f(x) = ax⁴ + bx² + c.
  2. Ermittle den Funktionsterm.
  3. Überprüfe, dass bei x = 2 wirklich ein Hochpunkt vorliegt.
  4. Berechne die Breite des Hügels am Boden.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Zwei Kuppen und ein Tal: Welcher Grad? Welche Summanden fallen weg?
Hinweis zu Aufgabe b)
f(0) = 1, f(2) = 5, f′(2) = 0.
Hinweis zu Aufgabe c)
f″(2) berechnen.
Hinweis zu Aufgabe d)
f(x) = 0 mit Substitution u = x².

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Zwei Hochpunkte und ein Tiefpunkt verlangen mindestens drei Extremstellen, also Grad 4. Achsensymmetrie lässt nur gerade Exponenten zu.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

c = 1; 16a + 4b = 4; f′(2) = 32a + 4b = 0 → 16a = −4 → a = −0,25, b = 2. f(x) = −0,25x⁴ + 2x² + 1.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

f″(x) = −3x² + 4, f″(2) = −8 < 0 → Hochpunkt (bei −2 wegen der Symmetrie ebenso).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

−0,25x⁴ + 2x² + 1 = 0 ⇔ u² − 8u − 4 = 0 → u = 4 + √20 ≈ 8,47 (u > 0) → x ≈ ±2,91. Breite ≈ 5,82 m.