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Gemeinsame Punkte

Zehn Übungen zu Punkten, die auf allen Graphen liegen — und zu den Eigenschaften, in denen sich die Graphen unterscheiden.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; die Erklärung nach dem Prüfen zeigt, wo der typische Fehler liegt.

A1
Gemeinsame Punkte finden
AFB I

Welche Punkte liegen auf allen Graphen von fk(x) = k · (x² − 4) + x?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Der Faktor bei k ist x² − 4; er verschwindet für x = ±2. Dort bleibt fk(x) = x.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen über gemeinsame Punkte.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Kurzweg und Gleichsetzen führen immer auf dieselbe Gleichung v(x) = 0.
A3
Lückentext: Gleichsetzen
AFB I

Setze die Begriffe ein — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Man wählt zwei Scharkurven mit Parametern a und b und will sie . Die Terme ohne Parameter heben sich weg, übrig bleibt ein Faktor . Da er nicht null ist, erhält man x-Werte, die von k sind. Die y-Werte erhält man durch in fk.

„ableiten“ bleibt übrig — für gemeinsame Punkte braucht man keine Ableitung.
A4
Wie viele gemeinsame Punkte?
AFB I

Ordne die Scharen nach der Anzahl ihrer gemeinsamen Punkte.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1keiner
2einer
3zwei
4drei
k · x² und k · x + 1 haben je einen gemeinsamen Punkt: (0 | 0) bzw. (0 | 1).
A5
y-Koordinate
AFB I

Alle Graphen von fk(x) = x² + k · (x − 3) gehen durch einen gemeinsamen Punkt. Gib seine y-Koordinate an.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Der Faktor x − 3 verschwindet bei x = 3; dort ist fk(3) = 9.
A6
Gemeinsame Punkte berechnen
AFB II

Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1fa(x) = fb(x) mit a ≠ b ansetzen
2Alles auf eine Seite bringen
3(a − b) ausklammern
4Durch (a − b) ≠ 0 teilen
5Restgleichung nach x lösen
6y-Werte berechnen und Punkte angeben
Nur weil a ≠ b gewählt wurde, darf man durch (a − b) teilen.
A7
Rechenkette: zwei gemeinsame Punkte
AFB II

fk(x) = (k + 1) · x² − k · x − 2.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Kleinere x-Koordinate eines gemeinsamen Punkts
  2. Zugehöriger y-Wert
  3. Größere x-Koordinate
  4. Zugehöriger y-Wert
fk(x) = x² − 2 + k · (x² − x): x² − x = 0 → x = 0 oder x = 1; dort ist fk(x) = x² − 2.
A8
Schar und gemeinsame Punkte
AFB II

Ordne jeder Schar ihre gemeinsamen Punkte zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Bei k · eˣ + x ist der Faktor bei k die Funktion eˣ, die nie null wird.
A9
Fehlersuche: gemeinsame Punkte
AFB II

Rechnung für fk(x) = x³ + kx² − 4kx — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Die y-Koordinate unbedingt mit dem ganzen Term ausrechnen — hier fällt k heraus, aber x³ bleibt.
A10
Wie viele Graphen durch P?
AFB III

Für fk(x) = x² + kx: Schätze ein, wie viele Graphen der Schar durch den Punkt gehen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = keiner, 2 = genau einer, 3 = alle. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = keiner3 = alle
P(0 | 0)
P(1 | 3)
P(0 | 1)
P(2 | 4)
P(0 | 5)
Ein Punkt (x₀ | y₀) liefert die Gleichung x₀² + k · x₀ = y₀. Für x₀ ≠ 0 gibt es genau ein k, für x₀ = 0 entweder alle (y₀ = 0) oder keinen.