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Gemeinsame Punkte

Drei Nullstellen, zwei Masten: Gemeinsame Punkte verraten, was alle Graphen einer Schar teilen.

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Eine Schar dritten Grades

AFB I–II

Gegeben ist fk(x) = x³ − kx² + (k − 1) · x mit k ∈ ℝ.

  1. Berechne die gemeinsamen Punkte aller Graphen.
  2. Zeige, dass sich die Graphen im Punkt (1 | 0) unter verschiedenen Steigungen schneiden.
  3. Bestimme k so, dass der Graph die x-Achse im Punkt (1 | 0) berührt.
  4. Zerlege fk(x) in Linearfaktoren und gib die Nullstellen in Abhängigkeit von k an.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Nach k ordnen: fk(x) = x³ − x + k(x − x²).
Hinweis zu Aufgabe b)
fk′(1) berechnen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Berühren: fk′(1) = 0.
Hinweis zu Aufgabe d)
x ausklammern, Restterm hat die Nullstelle 1.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

v(x) = x − x² = 0 → x = 0 oder x = 1; fk(0) = 0 und fk(1) = 1 − k + k − 1 = 0: P₁(0 | 0), P₂(1 | 0).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

fk′(x) = 3x² − 2kx + k − 1; fk′(1) = 2 − k — hängt von k ab, die Steigungen sind verschieden.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

2 − k = 0 → k = 2: f₂(x) = x³ − 2x² + x = x(x − 1)².

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

fk(x) = x · (x − 1) · (x − (k − 1)); Nullstellen 0, 1 und k − 1.

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Seile zwischen zwei Masten

AFB II–III

Zwischen zwei 20 m hohen Masten im Abstand von 20 m hängen Seile. Ihr Verlauf wird durch fk(x) = k · (x² − 100) + 20 für −10 ≤ x ≤ 10 beschrieben (x und y in m, k > 0).

  1. Weise nach, dass alle Seile an den Mastspitzen befestigt sind.
  2. Bestimme k so, dass der tiefste Punkt des Seils 15 m über dem Boden liegt.
  3. Berechne für dieses Seil den Winkel, unter dem es am rechten Mast ansetzt.
  4. Beurteile die Modellierung für k < 0.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Gemeinsame Punkte der Schar.
Hinweis zu Aufgabe b)
Tiefpunkt bei x = 0.
Hinweis zu Aufgabe c)
fk′(10) und tan⁻¹.
Hinweis zu Aufgabe d)
Wie sähe das Seil aus?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Der Faktor bei k ist x² − 100 = 0 für x = ±10; dort gilt fk(±10) = 20 für jedes k — die gemeinsamen Punkte (±10 | 20) sind die Mastspitzen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

fk(0) = 20 − 100k = 15 → k = 0,05.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

f′(x) = 0,1x, f′(10) = 1 → 45° zur Waagerechten.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Für k < 0 wäre der Graph nach unten geöffnet: Das Seil wölbte sich zwischen den Masten nach oben — physikalisch unmöglich für ein durchhängendes Seil. Sinnvoll ist nur k > 0.