Punkte auf allen Graphen
Manche Punkte liegen auf jedem Graphen der Schar — egal, welchen Wert \(k\) hat. Man findet sie, indem man zwei beliebige Scharkurven schneidet.
- Gemeinsamer Punkt:Seine Koordinaten hängen nicht von \(k\) ab.
- Ansatz:\(f_a(x)=f_b(x)\) mit \(a\neq b\) — zwei beliebige Scharkurven schneiden.
- Kurzweg:Term nach \(k\) ordnen: \(f_k(x)=u(x)+k\cdot v(x)\). Gemeinsame Punkte liegen genau bei \(v(x)=0\).
- Keiner:Hat \(v(x)=0\) keine Lösung (z. B. \(v(x)=e^{-x}\)), gibt es keinen gemeinsamen Punkt.
Sage für jede Schar voraus, wie viele gemeinsame Punkte alle Graphen haben. Dann zeichnet „Graphen zeichnen“ sieben Scharkurven übereinander.
Halte fest: Die Anzahl der gemeinsamen Punkte steckt im Faktor bei \(k\). Ein Faktor \(e^{-x}\) wird nie null — dann schneiden sich keine zwei Scharkurven.
Gemeinsame Punkte berechnen
Gleichsetzen zweier Scharkurven: Alles ohne Parameter hebt sich weg, übrig bleibt der Faktor bei \(k\).
Rechnung:\(f_k(x)=x^3+kx^2-kx\) (Schar A).
Zwei Scharkurven mit \(a\neq b\) gleichsetzen.
\(x^3\) fällt weg, der Rest ordnet sich nach \(a-b\).
\(a-b\neq 0\) — also \(x=0\) oder \(x=1\).
\(y\)-Werte mit beliebigem \(k\): \(f_k(1)=1+k-k=1\).
- Gemeinsam:gemeinsame Punkte, oft Symmetrie und Verhalten für \(|x|\to\infty\).
- Verschieden:Lage von Extrem- und Wendepunkten, weitere Nullstellen — sie hängen von \(k\) ab.
Gemeinsame Punkte: \(f_a(x)=f_b(x)\) mit \(a\neq b\) lösen — gleichwertig: in \(f_k(x)=u(x)+k\,v(x)\) die Gleichung \(v(x)=0\) lösen.
Allgemeine Hinweise
a ≠ b ausnutzen
Den Faktor \((a-b)\) darf man nur wegdividieren, weil zwei verschiedene Scharkurven geschnitten werden.
Probe mit zwei Werten
Setze die gefundene Stelle in \(f_k\) ein: Fällt \(k\) heraus, ist der Punkt wirklich gemeinsam.
Berühren zählt auch
Bei \(f_k(x)=x^4-kx^2\) schneiden sich die Graphen im Ursprung nicht, sie berühren sich — es bleibt trotzdem ein gemeinsamer Punkt.