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Differenzierbarkeit

Zehn Übungen zu Knick oder glattem Übergang — erst der Sprung, dann die Steigung.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; die Erklärung nach dem Prüfen zeigt, wo der typische Fehler liegt.

A1
Glatt an der Naht?
AFB I

Welche Funktionen sind an ihrer Nahtstelle differenzierbar?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
x² und 4x − 3 haben bei 2 dieselbe Steigung 4, aber die Werte 4 und 5 — ein Sprung, also nicht differenzierbar.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen über Differenzierbarkeit.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Reihenfolge der Prüfung: stetig? Dann gleiche Steigung?
A3
Lückentext: glatter Übergang
AFB I

Setze die Begriffe ein — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Differenzierbar an der Nahtstelle kann f nur sein, wenn f dort ist. Die beiden Terme leitet man ab und vergleicht die an x₀. Sind sie verschieden, hat der Graph einen . Sind sie gleich, gibt es genau eine .

„Krümmung“ bleibt übrig — sie gehört zur Frage nach einem Krümmungsruck bei Trassen.
A4
Verhalten an x₀ = 0
AFB I

Ordne die Funktionen nach ihrem Verhalten an der Stelle 0.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1differenzierbar
2stetig mit Knick
3Sprung
sin(x) und x haben bei 0 beide den Wert 0 und die Steigung 1 — der Übergang ist glatt.
A5
Tangente als Anschluss
AFB I

g(x) = x² + 2 für x ≤ 1 geht differenzierbar in h(x) = mx + b über. Bestimme b.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
m = g′(1) = 2; g(1) = 3 = 2 · 1 + b → b = 1. h ist die Tangente an g in (1 | 3).
A6
Differenzierbarkeit prüfen
AFB II

Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Stetigkeit an der Nahtstelle prüfen
2Beide Terme einzeln ableiten
3x₀ in beide Ableitungen einsetzen
4Steigungen vergleichen
5Entscheiden: glatt oder Knick
Wer mit den Ableitungen anfängt, übersieht leicht einen Sprung.
A7
Rechenkette: zwei Parameter
AFB II

f(x) = ax² + bx für x ≤ 2 und f(x) = 3x − 2 für x > 2 soll differenzierbar sein.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. b (aus beiden Bedingungen)
  2. a
  3. f(1)
  4. f′(2)
Stetig: 4a + 2b = 4. Gleiche Steigung: 4a + b = 3. Subtraktion: b = 1, dann a = 0,5.
A8
Steigungen an der Naht
AFB II

Ordne jeder Funktion das Paar (Steigung links | Steigung rechts) an ihrer Nahtstelle zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Nur beim ersten Paar stimmen die Steigungen überein — und dort auch die Werte (9 = 9).
A9
Fehlersuche: Ableitung an der Naht
AFB II

Sechs Zeilen aus einer Lösung — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Die Probe entlarvt den Rechenfehler: Die Tangente an x² in (1 | 1) ist y = 2x − 1.
A10
Sprung, Knick oder glatt?
AFB III

Schätze das Verhalten an der Stelle x₀ = 0 ein.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = Sprung, 2 = stetig mit Knick, 3 = differenzierbar. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = Sprung3 = differenzierbar
f(x) = √|x|
f(x) = x² für x < 0, x³ für x ≥ 0
f(x) = cos(x) für x < 0, 1 − x für x ≥ 0
f(x) = eˣ für x < 0, 1 + x für x ≥ 0
f(x) = eˣ für x < 0, x für x ≥ 0
√|x| ist bei 0 stetig, hat dort aber eine senkrechte Spitze. cos und 1 − x haben die Steigungen 0 und −1: Knick.