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Differenzierbarkeit

Schanze und Betragsfunktion: Wann geht eine Bahn glatt über — und wie groß ist der Knick, wenn nicht?

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Der Übergang einer Schanze

AFB I–II

Der Anlauf einer Sprungschanze verläuft für x ≤ 4 auf der Geraden g(x) = −0,5x + 10. Daran schließt sich für 4 < x ≤ 8 ein Bogen p(x) = ax² + bx + c an, der bei x = 8 waagerecht ist (x und y in m).

  1. Stelle die Bedingungen für einen differenzierbaren Übergang auf.
  2. Bestimme p(x).
  3. Gib den tiefsten Punkt des Bogens an.
  4. Untersuche, ob der Übergang bei x = 4 krümmungsruckfrei ist.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Wert und Steigung bei 4, waagerechte Tangente bei 8.
Hinweis zu Aufgabe b)
b = −16a aus der dritten Bedingung.
Hinweis zu Aufgabe c)
Scheitel bei x = 8.
Hinweis zu Aufgabe d)
Vergleiche g″(4) und p″(4).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

p(4) = g(4) = 8, p′(4) = g′(4) = −0,5, p′(8) = 0.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

p′(8) = 16a + b = 0 → b = −16a; p′(4) = 8a + b = −0,5 → −8a = −0,5 → a = 0,0625, b = −1; p(4) = 1 − 4 + c = 8 → c = 11. p(x) = 0,0625x² − x + 11.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

p(8) = 4 − 8 + 11 = 7: tiefster Punkt (8 | 7).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

g″(4) = 0, p″(4) = 0,125 ≠ 0: differenzierbar, aber mit Krümmungsruck — die Springer spüren am Übergang einen plötzlichen Druck.

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Ein Knick messen

AFB II–III

Gegeben ist f(x) = x · |x − 2|.

  1. Stelle f abschnittsweise ohne Betragszeichen dar.
  2. Weise nach, dass f an der Stelle 2 stetig, aber nicht differenzierbar ist.
  3. Gib die beiden einseitigen Tangenten im Punkt (2 | 0) an.
  4. Berechne den Winkel, unter dem sich diese Tangenten schneiden.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
|x − 2| = −(x − 2) für x < 2.
Hinweis zu Aufgabe b)
Werte und Steigungen der beiden Terme bei 2.
Hinweis zu Aufgabe c)
y = m(x − 2).
Hinweis zu Aufgabe d)
Steigungswinkel mit tan⁻¹, dann Differenz.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

f(x) = −x² + 2x für x < 2 und f(x) = x² − 2x für x ≥ 2.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Beide Terme liefern bei 2 den Wert 0 — stetig. Steigungen: −2x + 2 → −2 und 2x − 2 → 2. Verschieden → Knick, nicht differenzierbar.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Links: y = −2(x − 2) = −2x + 4; rechts: y = 2(x − 2) = 2x − 4.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Steigungswinkel ±63,43°. Die Tangenten schließen 2 · 63,43° = 126,87° ein, also einen spitzen Winkel von 53,13°.