Knick oder glatter Übergang
Ein stetiger Graph kann an der Nahtstelle trotzdem abknicken. Differenzierbar ist \(f\) dort nur, wenn beide Stücke mit derselben Steigung ankommen.
- Steigung links:\(g'(x_0)\) — die Tangente, der sich die Tangenten von links nähern.
- Steigung rechts:\(h'(x_0)\) — dasselbe von rechts.
- Differenzierbar in \(x_0\):\(f\) ist stetig und \(g'(x_0)=h'(x_0)\); der Graph hat dort genau eine Tangente.
- Knick:stetig, aber \(g'(x_0)\neq h'(x_0)\) — keine eindeutige Tangente, nicht differenzierbar.
- Zusammenhang:differenzierbar ⇒ stetig; die Umkehrung gilt nicht (Beispiel \(|x|\) bei \(0\)).
Lege das Tangentenlineal an den Graphen und ziehe es an die Nahtstelle heran (Pfeiltasten: Schritte von \(0{,}05\)). Notiere Messwerte links und rechts von \(x_0\) und entscheide dann: glatt oder Knick?
Halte fest: Nähern sich die Messwerte von links und von rechts derselben Zahl, geht der Graph glatt über. Bei einem Knick springt der Messwert an der Nahtstelle.
Einen glatten Übergang berechnen
Mit zwei Parametern lassen sich beide Forderungen erfüllen: erst kein Sprung, dann kein Knick.
Rechnung:\(f(x)=\begin{cases} x^2, & x\le 1\\ ax+b, & x>1\end{cases}\) — gesucht sind \(a\) und \(b\), sodass \(f\) differenzierbar ist.
Beide Terme an der Nahtstelle \(x_0=1\) gleichsetzen.
Stücke einzeln ableiten: \((x^2)'=2x\), \((ax+b)'=a\).
\(a\) aus II in I einsetzen.
\(y=2x-1\) ist genau die Tangente an \(y=x^2\) im Punkt \((1\mid 1)\).
\(f\) differenzierbar in \(x_0\): \(g(x_0)=h(x_0)\) und \(g'(x_0)=h'(x_0)\)
Allgemeine Hinweise
Erst den Sprung prüfen
Gleiche Steigungen reichen nicht: Springt der Graph, ist \(f\) an der Nahtstelle weder stetig noch differenzierbar.
Stücke einzeln ableiten
Leite \(g\) und \(h\) getrennt ab und setze erst dann \(x_0\) ein — eine gemeinsame Ableitung „über die Naht“ gibt es nicht.
Stetig heißt nicht glatt
Bei Beispiel 2 hängt der Graph zusammen und hat trotzdem einen Knick. „Kein Sprung“ ist nur die erste von zwei Bedingungen.