Das Gauß-Verfahren: Übungen – Mathe Klasse 13

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; die Erklärung nach dem Prüfen zeigt, wo der typische Fehler liegt.

Erlaubte Umformungen

AFB I

Welche Umformungen ändern die Lösungsmenge eines LGS nicht?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Mit 0 multipliziert wird jede Gleichung zu 0 = 0 — die Information geht verloren. Quadrieren kann neue Lösungen erzeugen.

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Fünf Behauptungen zum Gauß-Verfahren.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Stufenform + Rückwärtseinsetzen: Das Verfahren ist so festgelegt, dass es ein Rechner abarbeiten kann.

Lückentext: Ablauf

AFB I

Setze die Begriffe ein — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Mit Gleichung I entfernt man a aus den darunter. Danach bleibt I . Mit der neuen Gleichung II entfernt man b aus Gleichung . Aus der letzten Zeile liest man c ab und setzt dann ein. Eine in den Ausgangsgleichungen sichert das Ergebnis.

„Ableitung“ bleibt übrig — die braucht man beim Aufstellen, nicht beim Lösen.

Was sagt die letzte Zeile?

AFB I

Ordne die Situationen nach der Anzahl der Lösungen (drei Unbekannte, sonst Stufenform).

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1genau eine Lösung

2keine Lösung

3unendlich viele Lösungen

−c = 0 ist keine Nullzeile: c = 0 ist eine ganz normale Lösung.

Rückwärts einsetzen

AFB I

I: a + b + c = 4 · II: 2b − c = 1 · III: 3c = 3. Bestimme a.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

c = 1, 2b = 2 → b = 1, a = 4 − 1 − 1 = 2.

Der Algorithmus

AFB II

Bringe die Schritte des Gauß-Verfahrens für ein 3×3-LGS in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Mit I die Unbekannte a aus II und III entfernen

2Mit der neuen II die Unbekannte b aus III entfernen

3c aus III berechnen

4c in II einsetzen und b berechnen

5b und c in I einsetzen und a berechnen

6Probe in einer Ausgangsgleichung

Erst die Stufenform, dann rückwärts — nie mitten in der Elimination schon einsetzen.

Rechenkette: ein 3×3-LGS

AFB II

I: a − b + c = 2 · II: 2a + b − c = 1 · III: a + 2b + 2c = 9

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Rechte Seite nach II − 2 · I
c
b
a

II − 2 · I: 3b − 3c = −3 → b − c = −1; III − I: 3b + c = 7. Daraus 4c = 10 → c = 2,5, b = 1,5 und a = 2 + b − c = 1.

LGS und Lösung

AFB II

Ordne jedem LGS seine Lösungsmenge zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Ist eine Gleichung ein Vielfaches der anderen, gibt es unendlich viele Lösungen; unterscheiden sich nur die rechten Seiten, gibt es keine.

Fehlersuche: Umformungen

AFB II

Sechs Umformungen — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Vorzeichenfehler beim Subtrahieren sind die häufigste Ursache für einen scheinbaren Widerspruch.

A10

LGS mit Parameter

AFB III

Schätze ein, wie viele Lösungen das LGS für den angegebenen Parameterwert hat.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = keine, 2 = genau eine, 3 = unendlich viele. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = keine3 = unendlich viele

a + b = 2, 2a + t · b = 4 mit t = 1

a + b = 2, 2a + t · b = 4 mit t = 2

a + b = 2, 2a + t · b = 4 mit t = −2

a + b = 2, 2a + 2b = s mit s = 4

a + b = 2, 2a + 2b = s mit s = 5

II − 2 · I ergibt (t − 2) · b = 0: Für t ≠ 2 ist b = 0 eindeutig, für t = 2 entsteht 0 = 0. Im zweiten LGS entsteht 0 = s − 4.